АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла

Прочитайте:
  1. Безусловным клиническим признаком перелома основания черепа
  2. Безусловным признаком синдрома портальной гипертензии является обнаружение при ультразвуковом исследовании самопроизвольно образовавшихся коллатералей – анастомозов.
  3. Выполнение основной теоремы двойственности
  4. Выполнение теоремы об оценке
  5. Две предельные теоремы теории очередей.
  6. Доказательство. В силу условий теоремы и соотношения Чепмена-Колмогорова, имеем
  7. Доказательство. Отметим, что если выполнены условия i),ii), то выполнены условия теоремы 30 главы 3. Поэтому разрешимость этого уравнения следует из теоремы 30 главы 3.
  8. Достоверным признаком смерти
  9. Замечание. В доказательстве теоремы 10 вместо формулы (46) удобнее воспользоваться следующей
  10. ЗНАКОМСТВО БЕЗ ПОСРЕДНИКА

7.1. Теорема 18 (О монотонной сходимости) Пусть

случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если ;

б) если .

Доказательство. а) Предположим, что . Пусть для каждого - последовательность простых случайных величин таких, что при . Обозначим . Тогда очевидно, что . Пусть , поскольку для , то переходя к пределу при получим, что для любого , значит . Так как случайные величины простые и , то .

С другой стороны, очевидно, что . Поэтому , значит = .

Пусть теперь - случайная величина с . Если , то в силу свойства В) математических ожиданий = , утверждение доказано.

Пусть , тогда вместе с условием получаем: . Очевидно, что для всех . Поэтому, согласно доказанному и значит по свойству Е) математических ожиданий . Так как , то при .

Доказательство пункта б) следует из а), если вместо исходных случайных величин рассмотреть случайные величины со знаком минус.

7.2. Следствие 19. Пусть случайные величины. Тогда .

7.3. Теорема 20 (Лемма Фату). Пусть случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если то ;

б) если , то ,

в) если ,то .

Доказательство. а) Пусть . Тогда = . Ясно, что и для всех . Тогда по теореме 18 имеем

М М М . Таким образом а) –доказано.

Утверждения б) и в) доказываются аналогично.

7.4. Теорема 21 (Лебега о мажорируемой сходимости). Пусть случайные величины такие, что P – п.н. и Тогда 1) , 2) при .

Доказательство. По условию Р - п.н. Поэтому в силу пункта а) леммы Фату и по свойству G) математических ожиданий имеем М М . Таким образом первое утверждение установлено, так как из неравенства следует, что .

Утверждение 2) доказывается также, если заметить, что .

Следствие 22. Пусть выполнены условия теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и для р>1. Тогда и .

Доказательство. Заметим, что , . Поэтому доказательство следует из теоремы 21.

7.5. Определение. Семейство случайных величин называется интегрируемым (р.и.), если когда или .

Очевидно, что если последовательность такая, что и , то семейство - р.и.. Приведем критерий равномерной интегрируемости последовательности .

Теорема 23. Последовательности равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия:

i) для любого существует такое , что и ;

ii) .

Доказательство. Для любой положительной случайной величины , множества и всех справедливо неравенство

+ .

Отсюда вытекает, что

+ (4)

Необходимость условия i) следует из (4), если в нем положить что

и Р (А) . Условие ii) следует из (4), если в нем положить .

Обратно. Сначала заметим, что для любой положительной случайной величины справедливо неравенство

М . (5)

Если выполнено ii), то в силу (5) имеем

.

Если выполнено i), то возьмем такое, что для любых . Тогда для всех . Стало быть семейство -равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.

Предложение 24. Семейство случайных величин равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость очевидна, так как .

Достаточность. Обозначим р(с) . Очевидно, что р(с) = 0. Заметим, что:

1) для всех с, поэтому ;

2)

. (6)

Пусть и выберем c таким, что р(c) , а таким, что . Тогда в силу (6) для любого n. Значит семейство равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.

7.6. Приведем теперь достаточное условие равномерной интегрируемости.

Теорема 25. Пусть - последовательность интегрируемых случайных величин, а - возрастающая функция такая, что и . Тогда семейство - равномерно интегрируемо.

Доказательство. Пусть . Выберем для число большим таким, что . Тогда равномерно по n. Доказательство закончено.

Следствие 26. Пусть последовательность случайных величин такая, что , где . Тогда последовательность - равномерно интегрируема.

Доказательство. Действительно из неравенства вытекает равномерная интегрируемость. Доказательство закончено.

Следствие 27. Пусть семейство случайных величин - равномерно интегрируемо. Тогда .

Доказательство. Для фиксированного , имеем в силу теоремы 22 для любого конечного

=

+ . Доказательство закончено.

7.6. Теорема 28. Пусть - семейство равномерно интегрируемых случайных величин. Тогда справедливы утверждения.

1) ;

2) Если , тогда i) случайная величина - интегрируема, ii) при , iii) при .

Доказательство. а) Для всякого

. (7)

В силу равномерной интегрируемости для величину с можно выбрать сколь угодно большой, такой что . Поэтому по лемме Фату , но , значит
. (8)

Из (7) и (8) следует, что . В силу произвольности следует, что . Аналогичным образом доказываются другие неравенства. Утверждение пункта б) следует из а) в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

7.7. Из теорем 23 и 28 следует утверждение.

Теорема 29. Пусть и . Тогда тогда и только тогда, когда - равномерно интегрируема. (Без доказательства)

 

§ 8. Сходимость в пространстве Lp.

8.1. Определение. Множество действительных случайных величин таких, что при и , при обозначим через и в этом случае будем писать , . Отметим, что при является банаховым пространством относительно нормы: , при , , при .

Из этих определений следует, что: а) , если ; б) - является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения , где .

8.2. Определение. Пусть - последовательность случайных величин такая, что . Будем говорить, что сходится в среднем порядка р к случайной величине , если и использовать обозначение .

В частности, если: 1) р=1 и , то говорят, что сходится к в среднем; 2) р=2 и , то говорят, что сходится к в среднеквадратическом смысле и обозначают ; 3) при р = сходимость называется существенно равномерной.

8.3. Приведем теперь без доказательства критерий Коши сходимости в .

Теорема 30. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:

1) - сходящаяся в последовательность,

2) при .

8.4. Из результатов §7 следует утверждение.

Теорема 31. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:

1) последовательность - равномерно интегрируема и ;

2) и .

Доказательство этого утверждения следует из неравенства и теоремы 26.

8.5. Из теоремы 31 вытекают следующие утверждения.

Следствие 32. Пусть выполнены условия теоремы 31. Пусть существует мажорирующая Р -п.н. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) ;

2) и .

Следствие 33. 1) Пусть и , тогда .

2) Пусть и , тогда .

8.6. Опишем теперь слабую сходимость в .

Определение. Последовательность с называется слабо сходящейся в к случайной величине с , если для любой ограниченной случайной величины справедливо равенство .

Определение. Последовательность случайных величин называется слабо компактной в , если она содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Приведем критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса.

Теорема 34. Для того чтобы последовательность случайных величин с была слабо компактной в необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно интегрируема.

 

 


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1217 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.018 сек.)