Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла
7.1. Теорема 18 (О монотонной сходимости) Пусть
случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) если ;
б) если .
Доказательство. а) Предположим, что . Пусть для каждого - последовательность простых случайных величин таких, что при . Обозначим . Тогда очевидно, что . Пусть , поскольку для , то переходя к пределу при получим, что для любого , значит . Так как случайные величины простые и , то .
С другой стороны, очевидно, что . Поэтому , значит = .
Пусть теперь - случайная величина с . Если , то в силу свойства В) математических ожиданий = , утверждение доказано.
Пусть , тогда вместе с условием получаем: . Очевидно, что для всех . Поэтому, согласно доказанному и значит по свойству Е) математических ожиданий . Так как , то при .
Доказательство пункта б) следует из а), если вместо исходных случайных величин рассмотреть случайные величины со знаком минус.
7.2. Следствие 19. Пусть случайные величины. Тогда .
7.3. Теорема 20 (Лемма Фату). Пусть случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) если то ;
б) если , то ,
в) если ,то .
Доказательство. а) Пусть . Тогда = . Ясно, что и для всех . Тогда по теореме 18 имеем
М М М . Таким образом а) –доказано.
Утверждения б) и в) доказываются аналогично.
7.4. Теорема 21 (Лебега о мажорируемой сходимости). Пусть случайные величины такие, что P – п.н. и Тогда 1) , 2) при .
Доказательство. По условию Р - п.н. Поэтому в силу пункта а) леммы Фату и по свойству G) математических ожиданий имеем М М . Таким образом первое утверждение установлено, так как из неравенства следует, что .
Утверждение 2) доказывается также, если заметить, что .
Следствие 22. Пусть выполнены условия теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и для р>1. Тогда и .
Доказательство. Заметим, что , . Поэтому доказательство следует из теоремы 21.
7.5. Определение. Семейство случайных величин называется интегрируемым (р.и.), если когда или .
Очевидно, что если последовательность такая, что и , то семейство - р.и.. Приведем критерий равномерной интегрируемости последовательности .
Теорема 23. Последовательности равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия:
i) для любого существует такое , что и ;
ii) .
Доказательство. Для любой положительной случайной величины , множества и всех справедливо неравенство
+ .
Отсюда вытекает, что
+ (4)
Необходимость условия i) следует из (4), если в нем положить что
и Р (А) . Условие ii) следует из (4), если в нем положить .
Обратно. Сначала заметим, что для любой положительной случайной величины справедливо неравенство
М . (5)
Если выполнено ii), то в силу (5) имеем
.
Если выполнено i), то возьмем такое, что для любых . Тогда для всех . Стало быть семейство -равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.
Предложение 24. Семейство случайных величин равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Необходимость очевидна, так как .
Достаточность. Обозначим р(с) . Очевидно, что р(с) = 0. Заметим, что:
1) для всех с, поэтому ;
2)
. (6)
Пусть и выберем c таким, что р(c) , а таким, что . Тогда в силу (6) для любого n. Значит семейство равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.
7.6. Приведем теперь достаточное условие равномерной интегрируемости.
Теорема 25. Пусть - последовательность интегрируемых случайных величин, а - возрастающая функция такая, что и . Тогда семейство - равномерно интегрируемо.
Доказательство. Пусть . Выберем для число большим таким, что . Тогда равномерно по n. Доказательство закончено.
Следствие 26. Пусть последовательность случайных величин такая, что , где . Тогда последовательность - равномерно интегрируема.
Доказательство. Действительно из неравенства вытекает равномерная интегрируемость. Доказательство закончено.
Следствие 27. Пусть семейство случайных величин - равномерно интегрируемо. Тогда .
Доказательство. Для фиксированного , имеем в силу теоремы 22 для любого конечного
=
+ . Доказательство закончено.
7.6. Теорема 28. Пусть - семейство равномерно интегрируемых случайных величин. Тогда справедливы утверждения.
1) ;
2) Если , тогда i) случайная величина - интегрируема, ii) при , iii) при .
Доказательство. а) Для всякого
. (7)
В силу равномерной интегрируемости для величину с можно выбрать сколь угодно большой, такой что . Поэтому по лемме Фату , но , значит . (8)
Из (7) и (8) следует, что . В силу произвольности следует, что . Аналогичным образом доказываются другие неравенства. Утверждение пункта б) следует из а) в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.
7.7. Из теорем 23 и 28 следует утверждение.
Теорема 29. Пусть и . Тогда тогда и только тогда, когда - равномерно интегрируема. (Без доказательства)
§ 8. Сходимость в пространстве Lp.
8.1. Определение. Множество действительных случайных величин таких, что при и , при обозначим через и в этом случае будем писать , . Отметим, что при является банаховым пространством относительно нормы: , при , , при .
Из этих определений следует, что: а) , если ; б) - является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения , где .
8.2. Определение. Пусть - последовательность случайных величин такая, что . Будем говорить, что сходится в среднем порядка р к случайной величине , если и использовать обозначение .
В частности, если: 1) р=1 и , то говорят, что сходится к в среднем; 2) р=2 и , то говорят, что сходится к в среднеквадратическом смысле и обозначают ; 3) при р = сходимость называется существенно равномерной.
8.3. Приведем теперь без доказательства критерий Коши сходимости в .
Теорема 30. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:
1) - сходящаяся в последовательность,
2) при .
8.4. Из результатов §7 следует утверждение.
Теорема 31. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:
1) последовательность - равномерно интегрируема и ;
2) и .
Доказательство этого утверждения следует из неравенства и теоремы 26.
8.5. Из теоремы 31 вытекают следующие утверждения.
Следствие 32. Пусть выполнены условия теоремы 31. Пусть существует мажорирующая Р -п.н. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) ;
2) и .
Следствие 33. 1) Пусть и , тогда .
2) Пусть и , тогда .
8.6. Опишем теперь слабую сходимость в .
Определение. Последовательность с называется слабо сходящейся в к случайной величине с , если для любой ограниченной случайной величины справедливо равенство .
Определение. Последовательность случайных величин называется слабо компактной в , если она содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
Приведем критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса.
Теорема 34. Для того чтобы последовательность случайных величин с была слабо компактной в необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно интегрируема.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1213 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|