Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Случайные величины, случайные элементы

Прочитайте:

4.1. Пусть (, F) и (R¹,B(R¹)) - измеримые пространства.

Определение. Действительная функция определенная (, F), принимающая значения в R¹ называется F – измеримой или случайной величиной, если: B(R¹) F (то есть, прообраз является измеримым множеством в ).

Если =(Rⁿ,B(Rⁿ)), то B(Rⁿ) – измеримые функции называются борелевскими.

Простейшим примером случайной величины является

Определение. Случайная величина представимая в виде

(2)

где F называется дискретной. Если число слагаемых в сумме в (2) конечно, то случайная величина называется простой.

Замечание. Случайная величина это некоторая характеристика эксперимента, результаты которого зависят от случая . Требование измеримости важно. Действительно, если на (, F) задана вероятностная мера Р и , то в этом случае можно говорить о вероятности события, состоящего в том, что значение случайной величины принадлежит борелевскому множеству В.

Определение. Вероятностная мера на (R,B(R)) с , B(R¹), называется распределением вероятностей случайной величины на (R, B(R)).

Определение. Функция Р , где R¹, называется функцией распределения случайной величины .

Замечание. Для дискретной случайной величины мера сосредоточена не более чем в счетном числе точек и может быть представлена в виде
,

где .

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если , R¹.

4.2. Вопрос: Когда функция обозначаемая является случайной величиной? Для этого надо проверить условие F для любого B(R¹).

Лемма 7. Пусть e – некоторая система множеств такая, что (e)=B(R¹). Для того, чтобы была F - измеримой необходимо и достаточно, чтобы F для всех e.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Пусть D – система борелевских множеств , для которых F. Известно, что:

i) , ii) , iii) = .

Отсюда следует, что система D – является -алгеброй, значит
D B(R¹) и (e) , следовательно D=B(R¹).

Лемма 8. Пусть : R¹ R¹ - борелевская функция, а - случайная величина. Тогда сложная функция (то есть ) - случайная величина.

Доказательство. Действительно

так как B(R¹), B(R¹).

Доказательство закончено.

Определение. Функция на (, F) со значениями в = называется расширенной случайной величиной, если: для B(R¹) F.

Теорема 9. 1) Для любой случайной величины найдется последовательность простых случайных величин таких, что и при для всех .

2) Если случайная величина , то найдется последовательность простых случайных величин таких, что для всех .

Доказательство. Начнем с пункта 2). Положим , и

непосредственной проверкой, устанавливается, что для всех . Отсюда следует и доказательство пункта 1) так как можно представить в виде , где .

Теорема 10. Пусть - последовательность расширенных случайных величин и = . Тогда -расширенная случайная величина.

4.3. Определение. Пусть - случайная величина. Пусть множества из вида , B(R¹). Наименьшую -алгебру порожденную такими множествами называют -алгеброй, порожденной случайной величиной и обозначают ее через F^x.

Если - борелевская функция, то из леммы 7 следует, что - случайная величина, причем F^x - измерима. Оказывается, справедливо и обратное утверждение.

Теорема 11. (Бореля). Пусть –измеримая случайная величина. Тогда найдется борелевская функция : R¹ R¹ такая, что , т.е. для каждого . (Докажите самостоятельно.)

4.4. Определение. Пусть (, F) и (E, e) - измеримые пространства. определенная на принимающая значения в E называется F / e – измеримой функцией или случайным элементом (со значениями в E e F). (3)

Примеры случайных элементов:

1) Если (E, e) = (R¹,B(R¹)), то определение случайного элемента совпадает с определением случайной величины.

2) Пусть (E, e) = (Rⁿ,B(Rⁿ)). Тогда случайный элемент называется n - мерным случайным вектором. Если - проекция Rⁿ на -ую координату, то = , где . Ясно, что - обычные случайные величины. Действительно, для B(R¹) R¹,.., R¹, R¹ R¹ }=
(R¹ R¹ R¹ R¹) F.

Определение. Упорядоченый набор случайных величин будет называться - мерным случайным вектором.

В соответствии с этим определением всякий случайный элемент со значениями в Rⁿ будет - мерным случайным вектором. Справедливо обратное утверждение: всякий n- мерный случайный вектор = есть случайный элемент в Rⁿ. Действительно, если B(R¹), , то F, то наименьшая -алгебра, порожденная всеми совпадает с B(Rⁿ). поэтому для B(Rⁿ) F.

3) Пусть (E, e) = (R^Т,B(R^Т)), Т – подмножество числовой прямой. В этом случае всякий случайный элемент представим в виде с называется случайной функцией с временным интервалом Т.

4.5. Определение. Пусть R¹. Совокупность называется случайным процессом с временным интервалом Т. Если , то - называется случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью. Если , то - называется случайным процессом с непрерывным временем.

Определение. Пусть - случайный процесс. Для каждого функция - называется реализацией или траекторией процесса, соответствующего исходу .

Определение. Пусть - случайный процесс. Вероятностная мера Р на (R^Т,B(R^Т)) с P P , B(R^Т) называется распределением вероятностей процесса Х.

Определение. Вероятностная мера P P , где B(Rⁿ), , называется конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса , а n-мерная функция распределения , где , называется конечномерными функциями распределения процесса .

4.6. Определение. Пусть (, F, P) - вероятностное пространство и набор ( e ) - измеримых пространств, где - произвольное множество. Будем говорить, что - измеримые функции независимы в совокупности, если для любого конечного набора элементы - независимы, т.е. для P P .

Теорема 12. Для того, чтобы случайные величины были независимы в совокупности, необходимо и достаточно, чтобы для любого Rⁿ , где . Докажите самостоятельно.

§ 5. Интеграл Лебега. Математическое ожидание.

5.1. Пусть (, F, P) - конечное вероятностное пространство, т.е. существует набор множеств таких, что при и , а - простая случайная величина.

Определение. Математическим ожиданием простой случайной величины , обозначаемым через М , называется величина M P (A _k). Это определение корректно, так как оно не зависит от способа представления случайной величины . Для математического ожидания будем использовать следующее обозначение: P P.

5.2. Дадим определение математического ожидания для случайной величины . В силу теоремы 9 существует монотонная последовательность простых неотрицательных случайных величин таких, что при для каждого . Очевидно, что M M , поэтому существует M (причем он может принять значение ).

Определение. Интеграл Лебега относительно вероятностной меры Р случайной величины , обозначаемый М , определяемый равенством M M называется математическим ожиданием случайной величины .

Это определение будет корректным, если значение предела не зависит от способа выбора аппроксимирующей последовательности (иначе говоря, если и , то M = M ).

Лемма 13. Пусть - простые неотрицательные случайные величины , причем . Тогда M ≥ M .

Доказательство. Пусть и . Ясно, что и ,

где , 1_B , B F.
Поэтому

где .

Следовательно . Доказательство закончено.

Замечание. Из утверждения леммы 13 следует, что . В силу симметрии имеем . Отсюда вытекает корректность определения.

5.3. Пусть теперь - произвольная случайная величина. Обозначим .

Определение. Говорят, что математическое ожидание случайной величины существует, если хотя бы одна из величин или конечна, т.е. . В этом случае по определению полагается , а - называется интеграл Лебега от по мере Р.

Определение. Говорят, что математическое ожидание случайной величины конечно, если и . Отсюда следует, что - конечно тогда и только тогда, когда .

Наряду с можно рассматривать и , если они определены, то их называют моментами - порядка, где r = 1,2,…,k.

5.4. Свойства математического ожидания.

А) Пусть и у случайной величины существует , тогда существует и .

Доказательство. Для простых функций это утверждение очевидно. Пусть , где - простые случайные величины и , следовательно . Значит .

В) Пусть , тогда .

С) Если существует , то .

Доказательство. Так как , то из А) и В) следует, что , то есть .

D) Если существует , то для каждого A F существует . Если конечно, то - конечно.

Доказательство следует из пункта В), так как , .

Е) Если и - случайные величины, причем и , то .

Доказательство. Пусть и - последовательность простых функций таких, что и . Тогда и . Кроме того и . Значит .

F) Если , то .

G) Если , Р- п.н. и , то и .

Доказательство. Пусть , тогда , где . В силу Е) .

Н) Пусть и , тогда Р - п.н.

Доказательство. Обозначим . Очевидно, что . поэтому в силу свойства В) , следовательно , значит для всех , но .

I) Пусть и - случайные величины такие, что и и для всех . Тогда Р - п.н..

Доказательство. Пусть . Тогда . Поэтому , тогда по свойству Е) , а в силу Н) P - п.н., значит Р (В)=0.

J) Пусть - расширенная случайная величина и , тогда P - п.н..

Доказательство. Действительно, пусть и Р (А) > 0. Тогда , что противоречит предположению .

§ 6. Сходимость последовательностей случайных величин по вероятности и почти наверное.

6.1. Пусть на задано последовательность случайных величин.