Измеримые пространства
Примеры -алгебр:
1) =(0, ) – бедная алгебра,
2) ={ A:A } - богатая алгебра,
3) ={ A:, A, 0, } называют алгеброй, порожденной множеством А.
Вопрос: Когда алгебра А () будет являться алгеброй F?
Определение. Система М () подмножеств называется монотонным классом, если из того, что А М () n=1,2,.. и , т.е. и следует, что М ().
Теорема 2. Для того, чтобы алгебра А () была алгеброй F необходимо и достаточно, чтобы она являлась монотонным классом.
2.1. Измеримое пространство (R1, B (R1))
Пусть R1 =(- , ] – действительная прямая и (a,b ] = { R1: } для всех . Обозначим через А (R1) систему множеств в R1, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b ]: А (R1), где . Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также – образуют алгебру – А (R1), которая не является алгеброй, так как А (R1), но А (R1).
Определение. B (R1) – наименьшая алгебра, порожденная А (R1) называется борелевской алгеброй, а ее множества – борелевскими.
Если обозначить через систему интервалов (a,b ], а через - наименьшую алгебру содержащую . Нетрудно установить B (R1)= .
Из каких элементов B (R1)? Из предыдущих построений следует, что B (R1) состоит из интервалов вида , где , и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:
i) ii) iii)
2.2. Измеримое пространство (Rn, B (Rn))
Пусть Rn = R R … R – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов , где , .
Множество где , называется прямоугольником, то есть, Rn: , а - его сторонами.
Через (Rn) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rn. (Rn) - наименьшая алгебра порожденная - называется борелевской алгеброй множеств Rn, которую и обозначим через B (Rn).
2.3. Измеримое пространство (R , B (R ))
R - пространство числовых последовательностей где - , Пусть - борелевское множество к -ой числовой прямой (то есть, множество B (R1)). Рассмотрим множества:
i) R : };
ii) R : };
iii) B (R ) R : .
Такие множества называются цилиндрическими, причем называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества , , образуют алгебру. Обозначим наименьшие алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через B (R ), B 1(R ), B 2(R ), соответственно. Можно показать, что эти алгебры совпадают.
2.4. Измеримое пространство (RТ , B (RТ))
Пусть Т – произвольное пространство, множество. Пространство RТ – совокупность действительных функций на T со значениями в R1, обозначенные . Для простоты будем считать, что . Обозначим: , где . Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить алгебру борелевских множеств на RТ, порожденную цилиндрическими множествами и обозначаемую через B (RТ).
Возникает вопрос: какова структура множества B (RТ)? Оказывается, что любое множество B (RТ) допускает представление , где B (R ). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t Т необязаны быть измеримыми относительно B (RТ). Например: i) }, , ii) - непрерывные в точке .
В связи с неизмеримостью некоторых множеств из RТ по отношению к B (RТ) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.
2.5. Измеримое пространство (С[0,T], B (С[0,T])).
Пусть Т =[0,1], С [0,1] - пространство непрерывных функций xt, t [0,1], со значениями в R1. Очевидно, С [0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)= , то есть ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:
1) ρ (х,у)= 0 x=y; 2) ρ (х,у)= ρ (у,x); 3) ρ (х,у) ρ (x,z)+ ρ(z,y).
Через B (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту 2.4.
2.6. Измеримое пространство (D,B(D)).
D – пространство функций xt, t [0,1], со значениями в R1, непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке t [ 0,1 ]. В нем также можно ввести метрику:
ρs(x,y) inf { , где - множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций , причем и }. -алгебра B(D) строится аналогично пункту 2.4.
§ 3. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах.
3.1. Измеримое пространство (R1,B(R1)).
Пусть F: R1 [0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:
1) неубывающая;
2) F(- )= 0 F()= 1, где F(- )= и F() = ;
3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R1.
Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R1.
Теорема 3. Пусть - функция распределения на R1, тогда на (R1, B(R1)) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что для любых , причем , Р
Пример: пусть функция распределения имеет вид:
=
Соответствующую ей меру называют мерой Лебега отрезка и обозначают Λ, причем Λ
Приведем классификацию мер на (R1, B (R1)).
3.1.1. Дискретные меры.
Пусть - функция распределения кусочно-постоянна и меняет свои значения в точках х1,х2, …, причем где Ясно, что соответствующая этой функции распределения вероятностная мера Р сосредоточена в точках х1,х2, …, причем Р .
Набор чисел где - называется дискретным распределением.
Примеры дискретных распределений содержатся в приведенной ниже таблице.
Распределение
|
| Параметры
| 1. Дискретное равномерное
|
|
| 2. Бернулли
|
| - вероятность успеха,
| 3. Биноминальное
|
| ,
| 4. Пуассоновское Пк
| Пk
|
| 5. Геометрическое =
|
|
| 6. Отрицательное биноминальное
|
|
|
3.1.2. Абсолютно непрерывные меры.
Пусть существует неотрицательная функция такая, что функция распределения допускает представление:
Функцию () называют плотностью функции распределения .
Пример: Функцию , называют гауссовской плотностью. Легко убедиться в том, что
3.1.3. Сингулярные распределения.
Определение. Точка называется точкой роста функции распределения , если для любого .
Определение. Сингулярными мерами называются меры, функции распределения которых непрерывны, причем точки роста, которые образуют множество нулевой меры Лебега.
Пример. Возьмем отрезок и построим на нем сингулярную функцию распределения с помощью приема, принадлежащего Кантору Г. Пусть F o – функция распределения, соответствующая мере Лебега на отрезке [0,1].Разделим на 3 равные части и определим - функцию распределения следующим образом: = 0, при x < 0; = x, при x [0, ); = , при x [ , ); = x – , при x [ ,1); = 1, при x > 1. Затем, каждый из интервалов и опять поделим на 3 равные части и определим функцию распределения следующим образом:
= 0, при x < 0; = x, при x [0, ); = при x [ , ]; = x - , при x [ , ]; = при x [ , ); = x – 1, при x [ , ); = при x [ , ); = x - , при x [ ,1].
Продолжая этот процесс далее мы построим последовательность функции распределения , которая, очевидно, сходится при к некоторой неубывающей непрерывной функции распределения . Очевидно, что точки роста функции распределения имеет нулевую меру Лебега, так как общая длина интервалов, на которых принимает постоянные значения равна 1. Действительно, общая длина интервалов постоянства функции равна
Пусть - множество точек роста функции распределения , тогда из последнего рассуждения следует, что (в этих случаях говорят, что мера, соответствующая этой функции распределения сингулярна по отношению к мере Лебега ).
Теорема 4. (Лебега) Любая функции распределения на прямой R1 представима в виде:
,
где и , а - дискретная, - абсолютно непрерывная, - сингулярная функции распределения.
3.2. Измеримое пространство (Rn,B(Rn)).
Пусть - измеримая функция, непрерывная справа (по совокупности измененных), имеющая левый предел. Введем оператор , действующей по правилу
.
Определение. Всякая непрерывная справа функция удовлетворяющая условиям:
1) для любых , i = ;
2) ;
3) , если хотя бы одна из координат n-мерного вектора принимает значение ,
называется -мерной функцией распределения.
Очевидно следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть - -мерная функция распределения. Тогда на (Rn,B(Rn)) существует единственная вероятностная мера Р такая, что , где , .
Примеры. 1) Пусть
=
мерная функция распределения вероятностей, которой соответствует мера Лебега на .
2) ,где
.
3.3. Измеримое пространство (R ,B(R ))
Обозначим через R :() , где Rn – цилиндрическое множество в с основанием B(Rn). Пусть последовательность вероятностных мер определенных, соответственно, на (R1, B(R1)), (R2, B(R2)), обладает следующим свойством:
(1)
где , .
Условие (1) называют условием (свойством) согласованности.
Теорема 5. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на (R , B(R )). Пусть - последовательность вероятностных мер, соответственно, на (R1, B(R1)), (R2, B(R2)), обладающая свойством согласованности. Тогда существует единственная мера Р на (R , B(R )) такая, что для каждого P P для .
3.4. Измеримое пространство (RТ , B(RТ))
Пусть Т=[0,T] – произвольное множество индексов R t - числовая прямая, соответствующая индексу . Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор различных индексов , и пусть P t - вероятностная мера на (R ,B(R )), где R = R R .
Определение. Будем говорить, что семейство вероятностных мер ( - пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов), является согласованным, если а) для любых двух наборов и причем , выполняется равенство
,
где , б) выполнено (1).
Теорема 6. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на
(RТ ,B(RТ))). Пусть - согласованное семейство вероятностных мер на (R ,B(R )). Тогда существует единственная вероятностная мера Р на (RТ ,B(RТ)) такая, что для всех неупорядоченных наборов различных индексов и B(R ).
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 764 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|