Замечание. В доказательстве теоремы 10 вместо формулы (46) удобнее воспользоваться следующей
(47)
где , 
Доказательство. Пусть – распределение вероятностей процесса , а соответствующая ему характеристическая функция. Положим для B( ) . Предположим, что семейство мер - слабо компактно. Пусть - последовательность такая, что: a) при ; б) слабо сходится к некоторой мере на B( ). Тогда имеем
(48)
где 

Так как , то - непрерывна и ограничена. Поэтому, в силу слабой сходимости к при , имеем
.
Значит, при и существуют пределы где - линейная функция, т.е. , а - положительно определенная квадратическая форма, т.е. , соответственно. Поэтому в (48) можно произвести предельный переход при , получим

Пусть , где {0} - одноточечное множество, “состоящее” из точки “нуль”. Так как , то . Кроме того, интеграл существует и представляет собой положительно определенную квадратическую форму по u, т.е. . Из приведенных построений следует, что . Поэтому существует положительно определенная матрица , такая что ,
что и доказывает (47).
Установим слабую компактность семейства мер . В силу теоремы 36 главы 1 нужно установить, что: а) ; б) где .
Пусть , . В силу условий теоремы и (46), получаем, что для любого существует такое , что
, при (49)
и при 
, при . (50)
Так как для , то из (49) следует, что
(51)
Нам понадобятся значения интегралов:

где Г(k) - Гамма-функция, - функция Бесселя, порядка m действительного аргумента. Проинтегрируем неравенства (49), (50) по , а затем получившийся результат разделим на , ( ), имеем:
(52)
(53)
Рассмотрим (52), пусть и , имеем
.
Рассмотрим (53). Так как - ограничена, то можно выбрать (при любом c >0) таким, что
(54)
Тогда имеем .
Из вышеприведенных рассуждений следует, что , для любого t.
Заметим, что . Выберем теперь таким, что левая часть (52) не превосходила , а cтаким, чтобы выполнялось (54). Тогда получаем, что для любого t. Доказательство закончено.
7.6. Рассмотрим частные случаи формулы (47), когда n =1.
1) Пусть и для любого . В этом случае . Это соответствует характеристической функции вырожденного распределения, сосредоточенного в точке . Следовательно, , т.е. точка движется с постоянной скоростью а.
2) Пусть для любого . В этом случае приращения имеют нормальное распределение со средним и дисперсией равной . Если , то процесс является гауссовским. Отметим, что если и , то такой процесс называется винеровским.
3) Пусть и , а мера П сосредоточена в точке {1} и имеет в ней массу, равную единице. Тогда характеристическая функция будет иметь вид . Отсюда следует, что . Этот процесс называется стандартным пуассоновским, который был подробно рассмотрен нами в главе 3.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 674 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|