АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Замечание. В доказательстве теоремы 10 вместо формулы (46) удобнее воспользоваться следующей

(47)

где ,

Доказательство. Пусть – распределение вероятностей процесса , а соответствующая ему характеристическая функция. Положим для B() . Предположим, что семейство мер - слабо компактно. Пусть - последовательность такая, что: a) при ; б) слабо сходится к некоторой мере на B(). Тогда имеем

(48)

где

Так как , то - непрерывна и ограничена. Поэтому, в силу слабой сходимости к при , имеем

.

Значит, при и существуют пределы где - линейная функция, т.е. , а - положительно определенная квадратическая форма, т.е. , соответственно. Поэтому в (48) можно произвести предельный переход при , получим

Пусть , где {0} - одноточечное множество, “состоящее” из точки “нуль”. Так как , то . Кроме того, интеграл существует и представляет собой положительно определенную квадратическую форму по u, т.е. . Из приведенных построений следует, что . Поэтому существует положительно определенная матрица , такая что ,

что и доказывает (47).

Установим слабую компактность семейства мер . В силу теоремы 36 главы 1 нужно установить, что: а) ; б) где .

Пусть , . В силу условий теоремы и (46), получаем, что для любого существует такое , что

, при (49)

и при

, при . (50)

Так как для , то из (49) следует, что

(51)

Нам понадобятся значения интегралов:

где Г(k) - Гамма-функция, - функция Бесселя, порядка m действительного аргумента. Проинтегрируем неравенства (49), (50) по , а затем получившийся результат разделим на , (), имеем:

(52)

(53)

Рассмотрим (52), пусть и , имеем

.

Рассмотрим (53). Так как - ограничена, то можно выбрать (при любом c >0) таким, что

(54)

Тогда имеем .

Из вышеприведенных рассуждений следует, что , для любого t.

Заметим, что . Выберем теперь таким, что левая часть (52) не превосходила , а cтаким, чтобы выполнялось (54). Тогда получаем, что для любого t. Доказательство закончено.

7.6. Рассмотрим частные случаи формулы (47), когда n =1.

1) Пусть и для любого . В этом случае . Это соответствует характеристической функции вырожденного распределения, сосредоточенного в точке . Следовательно, , т.е. точка движется с постоянной скоростью а.

2) Пусть для любого . В этом случае приращения имеют нормальное распределение со средним и дисперсией равной . Если , то процесс является гауссовским. Отметим, что если и , то такой процесс называется винеровским.

3) Пусть и , а мера П сосредоточена в точке {1} и имеет в ней массу, равную единице. Тогда характеристическая функция будет иметь вид . Отсюда следует, что . Этот процесс называется стандартным пуассоновским, который был подробно рассмотрен нами в главе 3.

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 654 | Нарушение авторских прав