Вероятностями перехода МПШ
2.1. Пусть – множество всех конечных мер на и . Пусть - семейство переходных вероятностей некоторого марковского процесса в широком смысле. Обозначим
, (5)
где
(6)
для любых и . Ясно, что - двухпараметрическое семейство операторов. Из соотношения Чепмена-Колмогорова следует закон композиции операторов . Действительно, пусть , тогда в силу соотношения Чепмена-Колмогорова и теоремы Фубини, имеем:
Следовательно
. (7)
2.2. Определим, теперь, второе семейство операторов. Пусть - множество измеримых ограниченных функций на со значениями в . Положим , т.е. . Из определения вероятности перехода следует, что - измеримая по функция. Если в ввести норму , то, очевидно, . Следовательно, – двухпараметрическое семейство операторов. Из соотношения Чепмена-Колмогорова при следуют равенства
Стало быть, закон композиции операторов имеет вид
(8)
Очевидны следующие свойства оператора :
1) , 2) .
2.3. Определение. МПШ называется однородным (ОМПШ), если зависят только от разности , т.е.
(9)
Поэтому удобно ввести обозначение .
Для ОМПШ соотношение Чепмена-Колмогорова будет иметь вид:
В этом случае семейства операторов не зависят от и поэтому вместо двухпараметрического семейства операторов естественно рассматривать однопараметрические семейства , определенные по правилам, :
Очевидно, что:
. (10)
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 594 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|