Очевидно, (43) эквивалентно условию, что процесс является процессом с независимыми приращениями. Отсюда следует, что если и удовлетворяют (43), то справедливо равенство
(44)
где . Очевидно, что (44) эквивалентно тому, что - СПСП.
7.4.Определение. СПСП называется однородным (ОСПСП), если для любых - случайный вектор имеет распределение, не зависящее от t, т.е. .
Определение. ОСПСП называется стохастически непрерывным, если он непрерывен по вероятности.
Приведем теперь некоторые свойства ОСПСП. Пусть , тогда справедливы следующие утверждения:
1)
Это равенство вытекает из (43). Отсюда, в частности, следует, что .
2) Пусть - ОСПСП. Если ,то для , такого что . Доказательство этого утверждения приведите самостоятельно.
3) . Действительно, пусть для любого существует такое, что для любых . Пусть . Из определения ОСПСП имеем
.
Так как для любого u, такого что , , то существует такое (зависящее от N), что для любых t < tN . Стало быть, существует функция , т.е. . Отсюда в силу свойства 1) получаем что , для , и . Поэтому существует функция такая, что . Значит
, (44)
где можно определить следующим образом
= ,
причем сходимость равномерная по . Отсюда вытекает следующее свойство.
4) Для любых существует функция , называемая кумулянтой, такая что для любого .
7.5. Теорема 10 (Леви-Хинчина). Пусть ОСПСП со значениями в стахостически непрерывный. Тогда существуют:
i) конечная мера П на ii) a - n – мерный вектор; iii) b - размера положительно определенная матрица,
такие что для любого такого, что кумулянта имеет вид: (46)