Диффузионные процессы
8.1. Определение. МПШ называется диффузионным, если выполняются условия:
i) для любого и vравномерно по , где - сфера радиуса ε с центром в точке x, а ;
ii) существуют вектор-функция и оператор
такие, что для любых и равномерно по
(56),
(57),
при этом n –мерная вектор-функция называется вектором сноса, а b (s,x) матрица-функция размера называется матрицей диффузии.
Будем обозначать через i -ую компоненту вектора сноса, а через - элемент матрицы диффузии.
8.2. Условия i), ii) неудобны для проверки, поэтому в данном пункте мы приведем достаточные условия того, что процесс диффузионный.
Теорема 11. Для того чтобы n -мерный МПШ был диффузионным достаточно, чтобы соответствующая ему переходная вероятность удовлетворяла условиям:
i) для некоторого , любого x равномерно по t
,
ii) существуют функции и такие, что для всех t, x
Доказательство. Проведем его для случая n =1. Действительно, в этом случае
,
,
.
Отсюда следует утверждение теоремы.
8.3. Теорема 12. Пусть n- мерный диффузионный МПШ, а коэффициенты сноса и диффузии, соответственно, , -непрерывные по совокупности переменных функции. Пусть непрерывная ограниченная функция такая, что имеет непрерывные по совокупности переменных производные , для любых . Тогда существует производная и удовлетворяет уравнению:
(58)
Доказательство. Пусть . Очевидно, что ограниченная функция, поэтому в силу условия i)
(59)
В силу формулы Тейлора, имеем
(60)
где ,
при , причем .
Подставим (60) в (59), имеем:
(61)
где , когда и .
Разделим левую и правую части (61) на , а затем, переходя к пределу и , учитывая при этом непрерывность слагаемых правой части (61) по , получаем уравнение (58).
Покажем, теперь, . Действительно, из равенства
в силу непрерывности функции получаем требуемое равенство. Доказательство закончено.
8.4. Предположим, что у переходной вероятности существует плотность, т.е. существует функция такая, что для . Очевидно, что в этом случае соотношение Чепмена-Колмогорова для будет иметь вид
(62),
где . Покажем теперь, что, если плотность дифференцируема по t и дважды дифференцируема по y, то она удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова.
Теорема 13. Пусть условия (54)-(56) выполняются равномерно по x и существуют непрерывные производные
, где .
Тогда функция удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка -
(63)
Доказательство. Пусть дважды дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого компакта. Аналогично доказательству теоремы 12 легко показать, что равномерно по x
В силу условий теоремы и последнего равенства, имеем:
Рассмотрим теперь правую часть последнего равенства и заметим, что равна нулю вне некоторого компакта, тогда в силу формулы интегрирования по частям, имеем
Из последнего равенства, имеем
(64)
Утверждение теоремы следует из (64), в силу произвольности функции f (y).
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 643 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|