5.1. Пусть – конечное или счетное множество, причем будем использовать обозначения . Пусть - МПШ со значениями в и семейством переходных вероятностей . Положим
Очевидно, что Следовательно:
а) для любых ;
б) для любых ;
в) для любых .
Пусть – ограниченная функция. Тогда функция , определенная по формуле
(17)
является равномерно ограниченной.
Пусть и , а определена формулой:
(18)
Заметим, что соотношение Чепмена-Колмогорова в данном случае будет иметь вид:
(19)
Обозначим через - мощность множества . Нам понадобятся также следующие обозначения:
i) - матрица размера с элементами ;
ii) -мерный вектор (-столбец), компонентами которого являются ;
iii) -мерный вектор с компонентами ;
iv) - транспонированная матрица ;
v) - мерный вектор-строка с компонентами .
Тогда (17) – (19) можно переписать в виде:
,
5.2. Займемся теперь выводом обратного и прямого уравнений Колмогорова соответствующих МПШ с конечным или счетным числом состояний.
5.2.1. Пусть - множество такое, что для любой последовательности из существуют пределы:
1) для ;
2)
где – символ Кронекера.
Если, для каждой пары , существует конечный предел
(20)
то ясно, что содержит такие последовательности , для которых и
(21)
Заметим, что если существует предел (20), то имеем:
1) если , то для любых справедливо неравенство (так как );
2) если , то для любых следует, что , вытекающее из того факта, что , где ;
3) для любых , вытекающее из неравенства:
где . Таким образом, мы приходим к следующему утверждению:
Теорема 2. Пусть для любых существует предел: и Тогда дифференцируема по и удовлетворяет обратным уравнениям Колмогорова: