АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

МПШ с конечным или счетным числом состояний

5.1. Пусть – конечное или счетное множество, причем будем использовать обозначения . Пусть - МПШ со значениями в и семейством переходных вероятностей . Положим

Очевидно, что Следовательно:

а) для любых ;

б) для любых ;

в) для любых .

Пусть – ограниченная функция. Тогда функция , определенная по формуле

(17)

является равномерно ограниченной.

Пусть и , а определена формулой:

(18)

Заметим, что соотношение Чепмена-Колмогорова в данном случае будет иметь вид:

(19)

Обозначим через - мощность множества . Нам понадобятся также следующие обозначения:

i) - матрица размера с элементами ;

ii) -мерный вектор (-столбец), компонентами которого являются ;

iii) -мерный вектор с компонентами ;

iv) - транспонированная матрица ;

v) - мерный вектор-строка с компонентами .

Тогда (17) – (19) можно переписать в виде:

,

5.2. Займемся теперь выводом обратного и прямого уравнений Колмогорова соответствующих МПШ с конечным или счетным числом состояний.

5.2.1. Пусть - множество такое, что для любой последовательности из существуют пределы:

1) для ;

2)

где – символ Кронекера.

Если, для каждой пары , существует конечный предел

(20)

то ясно, что содержит такие последовательности , для которых и

(21)

Заметим, что если существует предел (20), то имеем:

1) если , то для любых справедливо неравенство (так как );

2) если , то для любых следует, что , вытекающее из того факта, что , где ;

3) для любых , вытекающее из неравенства:

где . Таким образом, мы приходим к следующему утверждению:

Теорема 2. Пусть для любых существует предел: и Тогда дифференцируема по и удовлетворяет обратным уравнениям Колмогорова:

(22)

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 597 | Нарушение авторских прав