АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Матрица интенсивности перехода. Уравнения Колмогорова

Прочитайте:
  1. Аксиоматика Колмогорова.
  2. Аномалии продолжительности и отклонение от нормальной интенсивности кровотечения (олиго-, поле-, гипер-, гипоменорея).
  3. Величина ответной реакции и её характер зависят ещё и от интенсивности/крутизны/ нарастания действия силы.
  4. Вероятностное представление интенсивности.
  5. Глава 6 Стохастические интегралы. Стохастические уравнения.
  6. Диффузионные процессы и стохастические уравнения.
  7. Доказательство. Отметим, что если выполнены условия i),ii), то выполнены условия теоремы 30 главы 3. Поэтому разрешимость этого уравнения следует из теоремы 30 главы 3.
  8. Изменение интенсивности кровотечения при менструациях
  9. Интенсивности и выраженности, локализации. На фоне антиревматической терапии отмечается быстрое
  10. Исследование уравнения кривой второго порядка

10.1. Пусть на стохастическом базисе задан опциональный процесс со значениями в Е, где Е – конечное или счетное множество. Пусть – последовательность марковских моментов, которая исчерпывает все скачки процесса . Без ограничения общности можно считать, что . Пусть - считающий процесс, а , относительно которых мы будем предполагать, что выполняются условия (N):

i) для любого ;

ii) .

Если выполнено условие ,то у считающего процесса существует - компенсатор , относительно которого мы будем полагать, что выполняется условие (А):

P – п. н. для любых , причем

измерима, где .

10.2. Предложение 34. Пусть опциональный случайный процесс с конечным или счетным множеством состояний E, а -считающий процесс. Пусть выполняются условия (N), (А). Тогда существует измеримая функция , обозначаемая такая, что:

1) почти всюду относительно меры Лебега:

i) для любых ,

ii) для любых ;

2) компенсатор считающего процесса имеет вид ;

3) компенсатор процесса имеет вид .

Доказательство. 1) Рассмотрим считающий процесс , . В силу пункта 2) предложения 33 и теоремы Блекуэлла для любой предсказуемой ограниченной неотрицательной функции справедливо равенство:

. (7)

Из условия (А) следует, что - измерима, поэтому в силу теоремы Бореля, существует измеримая функция , обозначаемая через , такая, что почти всюду относительно меры . Очевидно, что . Поэтому (7) можно переписать в виде .

Из последнего равенства, в силу произвольности функции получаем, что:

1) для почти всех s, 2) -компенсатор считающего процесса . Таким образом, второе утверждение предложения установлено.

3) Рассмотрим процесс . Из определения процесса и условий предложения для любой - предсказуемой ограниченной неотрицательной функции определен и конечен интеграл для любого . В силу условий предположения и свойств интеграла Стилтьеса, имеем

(8)

Ранее мы выяснили, что - компенсатор считающего процесса имеет вид . Поэтому для любых t,i из (8) имеем

Следовательно, в силу произвольности функции , получаем для любых и почти всех s. Отсюда, в силу теоремы Блекуэлла и произвольности , получаем, что предсказуемый процесс является компенсатором процесса . Доказательство закончено.

Из предложения 34 следует определение.

Определение. Измеримую функцию , обозначаемую через , где , назовем матрицей интенсивности перехода опционального процесса с конечным или счетным числом состояний, если выполняются условия:

1) для почти всех s

i) для любых ,

ii) для любого ,

iii) .

2) относительно потока и меры P процессы и :

i) ,

ii)

являются мартингалами.

Теорема 35. Пусть выполнены условия (N), (А). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) существует матрица интенсивности перехода у опционального процесса с конечным или счетным числом состояний;

2) пусть - матрица интенсивности перехода опционального процесса с конечным или счетным числом состояний. Тогда Р – п.н. справедливо представление для любых и .

. (9)

где - мартингал.

Доказательство. Первое утверждение следует из предложения 34. Второе утверждение теоремы следует из предложений 33 и 34.

Действительно, из пункта 1) предложения 33 и пункта 3 предложения 34, имеем P – п.н.

Здесь мы учли, что . Для завершения доказательства осталось лишь заметить, что в силу пунктов 2) и 3) предложения 34 и являются мартингалами относительно меры P. Доказательство закончено.

Замечание. Предположим, что - матрица интенсивности перехода удовлетворяет условиям:

1) для и ,

2) ,

3) .

Тогда . Действительно, из условий 1) – 3) следует, что для .

10.3. Представление (9) позволяет вывести уравнение для распределения вероятностей . Обозначим .

Теорема 36. Пусть - матрица интенсивностей перехода процесса . Тогда удовлетворяет системе уравнений для

. (10)

Доказательство. Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей (9), учитывая, что для , имеем

.

Так как для , то в силу теоремы Фубини из последнего равенства имеем

.

Отсюда, в силу того, что детерминированная функция, получаем (10). Доказательство закончено.

Замечание. Процесс , распределение вероятностей которого удовлетворяет (10) называют скачкообразным марковским процессом с конечным или счетным числом состояний. Система уравнений (10) называется прямым уравнением Колмогорова для марковских процессов с конечным или счетным числом состояний.

 


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1167 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.007 сек.)