Марковские моменты
3.1. Определение. Пусть - случайная величина называется марковским моментом, если для .
Конечный марковский момент называется моментом остановки (т. е. ).
Пример. Пусть непрерывен справа со значениями в тогда момент первого достижения уровня : , является марковским моментом.
Теорема 10. 1) Пусть - марковский момент, тогда 2) Пусть - марковский момент, тогда .
Доказательство. 1) Так как - марковский момент, то . Отсюда при получаем .
2) Так как , то из пункта 1) получаем утверждение. Доказательство закончено.
Теорема 11. Если и - марковские моменты, то: 1) - марковский момент, 2) - марковский момент.
Докажите самостоятельно.
3.2. Возникает естественный вопрос: при каких условиях случайная величина является марковским моментом?
Теорема 12. Случайная величина - марковский момент, если для .
Доказательство. Так как - случайная величина, то . Докажем, что . Из определения случайной величины следует, что Пересечем все эти множества, имеем , для . Поэтому в силу условий теоремы имеем .Доказательство закончено.
Теорема 13. Если есть два марковских момента, то и - марковские моменты.
Докажите самостоятельно.
3.3. Определение. Пусть — марковские моменты (м. м.), причём Р - п. н.. Множества называются, соответственно, открытым справа, открытым слева, открытым справа и слева, замкнутым стохастическими интервалами и обозначаются, соответственно, через
Через обозначим множество и назовём его графиком марковского момента .
Задача. Докажите, что .
3.4. Определение. Случайное множество А называется тонким, если оно имеет вид , где - последовательность моментов остановки. Если, кроме того, последовательность такая, что при , то такую последовательность назовём исчерпывающей множество A.
Теорема 14. Тонкое множество А и все его сечения не более чем счётны, кроме того, существует исчерпывающая последовательность моментов остановки.
3.5. Определение. Случайный процесс называется остановленным если .
Определение. Пусть последовательность марковских моментов такая, что , причём Р -п. н. для и пусть Р - п. н.. Такую последовательность назовём локализующей ().Если же , то последовательность назовём локализующей.
Определение. Случайный процесс называется локальным мартингалом, если существует локализующая последовательность марковских моментов такая, что для Р - п. н. .
Аналогичным образом определяются локальные субмартингал и супермартингал.
Теорема 15. Пусть - локальный мартингал относительно меры Р. Тогда - супермартингал (относительно меры Р).
Доказательство. Так как Р — п.н. для , где - локализующая последовательность, то в силу леммы Фату . Доказательство закончено.
3.6. Займемся теперь классификацией марковских моментов.
3.6.1. Определение. Марковский момент называется предсказуемым, если существует последовательность марковских моментов такая, что: а) Р - п. н., б) Р - п. н., при этом последовательность называют предвещающей марковский момент .
Пример. Пусть момент остановки, а . Ясно, что момент остановки, более того предсказуемый момент остановки, так как предвещает последовательность , где
Определение. Марковский момент называют достижимым, если существует предсказуемая последовательность марковских моментов таких, что Р - п. н., т. е.
3.6.2. Определение. Марковский момент называется недостижимым (вполне или тотально недостижимым) или опциональным, если для каждого предсказуемого момента остановки Р - п. н..
Задача. Докажите, что если марковский момент одновременно достижим и тотально не достижим, то Р - п. н..
Теорема 16. Марковский момент - опционален тогда и только тогда, когда существует последовательность моментов остановки такая, что: а) Р - п. н. для , б) Р - п. н..
Докажите самостоятельно.
Очевидно следующее утверждение.
Теорема 17. Пусть — опциональный марковский момент. Тогда для любой предсказуемой последовательности марковских моментов
Задача. Докажите, что момент времени в который происходит первый скачок пуассоновского процесса является опциональным марковским моментом.
Теорема 18. Пусть где , и стохастические интервал вида , где - опциональные марковские моменты, порождают алгебру .
Доказательство. Сначала заметим, что - это предсказуемый момент остановки равный нулю на и бесконечности на . Значит . Очевидно, что . Заметим, что предсказуемым м. о., поэтому , следовательно .
Рассмотрим интервал , где - предсказуемый м.о. Нам надо показать, что этот интервал принадлежит алгебре порождённой выше рассмотренными интервалами. Действительно, поскольку , а для последовательностей , предвещающей на множестве , имеем Отсюда следует утверждение теоремы.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1168 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|