АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих скачкообразным процессам

Прочитайте:
  1. Абсолютная величина числа
  2. Абсолютная и относительная масса головного мозга и глаз у некоторых видов рыб (М. Ф. Никитенко, 1969)
  3. Аккомодация: абсолютная и относительная. Виды нарушения аккомодации.
  4. Б. Социальные (при наличии соответствующих документов)
  5. Выработкой соответствующих антител и
  6. Локальная абсолютная непрерывность вероятных мер. Теорема Гирсанова.
  7. Многолетняя динамика заболеваемости детей и взрослых (инцидентность на 100 тыс. населения соответствующих групп)
  8. Непрерывность и преемственность реабилитационных мероприятий
  9. Оценки моментов решений стохастических уравнений. Непрерывность траекторий решений стохастических уравнений.

15.1.Определение. Пусть на измеримом пространстве заданы две вероятностные меры , i = 1,2. Будем говорить, что мера абсолютно непрерывна относительно меры и обозначать , если из того, что следует, что .

Из этого определения следует: если , то

. Очевидно, что достаточным условием является следующее: для .

Из теоремы Радона - Никодима следует, что если , то существует F - измеримая функция такая, что , которую называют производной Радона - Никодима и обозначают .

Везде ниже интеграл по мере будем обозначать через .

Пусть имеется измеримое пространство с фильтрацией , на котором заданы две вероятностные меры , i = 1,2. Через обозначим сужение меры на , т. е. . Пусть ,тогда существует в силу теоремы Радона – Никодима - процесс называемый локальной плотностью .

Теорема 48. Пусть - локальная плотность. Тогда неотрицательный мартингал относительно меры , причем для .

Доказательство. Пусть и . В силу условий теоремы поэтому . Так как , то . Значит

.

Отсюда в силу произвольности получаем, что - п. н. Для завершения доказательства осталось заметить, что при для .

15.3.Рассмотрим опциональный случайный процесс , опреде-ленный на стохастическом базисе со значениями в и для Р - п. н. допускающий представление

, (17)

где опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями и неслучайной матрицей интенсивности перехода , причем ; : - предсказуемая случайная функция такая, что

Р - п. н. для .

Сначала заметим, что - предсказуемый процесс, так как

- опциональный. Из свойств интегралов, стоящих в правой части (17) следует

. (18)

Пусть - последовательность марковских моментов, исчерпывающая скачки процесса , ясно, что: а) ; б) на множестве ; в) . Тогда последнее равенство (18) можно записать в виде

. (18а)

Отсюда следует, что в момент времени происходит скачек у процесса и его величина вычисляется по формуле . Поэтому Р - п. н.

. (19)

 

Пусть , из (18) следует, что Р - п. н.

.

Очевидно, что

.

Далее в силу (18), имеем

.


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 777 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.016 сек.)