Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих скачкообразным процессам
15.1. Определение. Пусть на измеримом пространстве заданы две вероятностные меры , i = 1,2. Будем говорить, что мера абсолютно непрерывна относительно меры и обозначать , если из того, что следует, что .
Из этого определения следует: если , то
. Очевидно, что достаточным условием является следующее: для .
Из теоремы Радона - Никодима следует, что если , то существует F - измеримая функция такая, что , которую называют производной Радона - Никодима и обозначают .
Везде ниже интеграл по мере будем обозначать через .
Пусть имеется измеримое пространство с фильтрацией , на котором заданы две вероятностные меры , i = 1,2. Через обозначим сужение меры на , т. е. . Пусть , тогда существует в силу теоремы Радона – Никодима - процесс называемый локальной плотностью .
Теорема 48. Пусть - локальная плотность. Тогда неотрицательный мартингал относительно меры , причем для .
Доказательство. Пусть и . В силу условий теоремы поэтому . Так как , то . Значит
.
Отсюда в силу произвольности получаем, что - п. н. Для завершения доказательства осталось заметить, что при для .
15.3. Рассмотрим опциональный случайный процесс , опреде-ленный на стохастическом базисе со значениями в и для Р - п. н. допускающий представление
, (17)
где опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями и неслучайной матрицей интенсивности перехода , причем ; : - предсказуемая случайная функция такая, что
Р - п. н. для .
Сначала заметим, что - предсказуемый процесс, так как
- опциональный. Из свойств интегралов, стоящих в правой части (17) следует
. (18)
Пусть - последовательность марковских моментов, исчерпывающая скачки процесса , ясно, что: а) ; б) на множестве ; в) . Тогда последнее равенство (18) можно записать в виде
. (18а)
Отсюда следует, что в момент времени происходит скачек у процесса и его величина вычисляется по формуле . Поэтому Р - п. н.
. (19)
Пусть , из (18) следует, что Р - п. н.
.
Очевидно, что
.
Далее в силу (18), имеем
.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1040 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|