Оценки моментов решений стохастических уравнений. Непрерывность траекторий решений стохастических уравнений
6.1. Теорема 13. 1) Пусть выполнены условия теоремы 12 и . Тогда существует положительная константа такая, что
.
2) Пусть выполнены условия теоремы 12 и , то существует константа К такая, что
.
Доказательство. 1) Обозначим
, .
Применим формулу Ито к , имеем
(32)
Так как для любого , имеем из (32)
(33) Из определений и следует, что ,
поэтому из (33) имеем (31)
Для оценки и воспользуемся неравенством Юнга , где , , . Рассмотрим и положим , а . Из неравенства Юнга следует Р -п. н. для любого s
.
Рассмотрим и положим , , имеем Р -п. н. для любого s
.
Поэтому неравенство (34) можно усилить, учитывая, что для каждого т существует константа такая, что
. (35)
Последнее неравенство (35) можно усилить, учитывая, что: а) ,
б) так как для , то существует константа такая, что
.
Отсюда в силу леммы Гронуолла-Беллмана, применённой к функции , имеем из (35)
.
В силу леммы Фату, из последнего неравенства, имеем
.
Первое утверждение теоремы доказано.
2) Оценим сверху , имеем в силу неравенства
Отсюда, в силу неравенства Гёльдера и свойств стохастических интегралов, имеем
В силу замечания к теореме 12 имеем Р -п. н. для
.
Поэтому последнее неравенство можно усилить
Значит существует константа такая, что
.
Воспользуемся теперь оценкой пункта 1 теоремы, в результате получим второе утверждение теоремы. Доказательство закончено.
6.2. Основываясь на втором утверждении теоремы легко установить утверждение.
Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 13 и . Тогда решение стохастического уравнения (22) является непрерывным процессом.
Доказательство этого утверждения следует из пункта 2 теоремы 13 при , которое позволяет воспользоваться теоремой 2 главы 3.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 586 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|