АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Теорема 1. Винеровский процесс существует

Прочитайте:
  1. C) нарушение процессов реабсорбции в проксимальных отделахпочечных канальцев
  2. I ЗВЕНО ЭПИДЕМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА: ИСТОЧНИК ИНФЕКЦИИ
  3. I. Определение инфекционного процесса и формы его проявления.
  4. III ЗВЕНО ЭПИДЕМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА: ВОСПРИИМЧИВЫЙ ОРГАНИЗМ
  5. IV. Опухоли мягких тканей и опухолевидные процессы
  6. N в процессе иммунного ответа антигенам 1-го класса принадлежит ведущая роль во взаимодействии между клеткой-эффектором (Т киллеры) и клеткой-«мишенью»
  7. V. Опухолевидные процессы
  8. Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих скачкообразным процессам.
  9. Адсорбционные равновесия и процессы на подвижной и неподвижной границах раздела фаз. Влияние различных факторов на величину адсорбции.
  10. Активные метаболиты и их роль в инициации токсического процесса

Доказательство теоремы опирается на два вспомогательных утверждения

1.1.1. Лемма 2. Пусть последовательность гауссовских случайных величин такая, что существует .Тогда X -гауссовская случайная величина.

Доказательство. Обозначим . Тогда, в силу свойства гауссовости последовательности , имеем Пусть любые , тогда имеем

Отсюда следует, что

Поэтому

Значит, , так как и , при т.е.

. Доказательство закончено.

1.1.2. Лемма 3. Пусть . Пусть , , причем . Тогда справедливо равенство .

Доказательство утверждения леммы следует из формулы интегрирования по частям.

1.1.3. Доказательство (теоремы 1) Пусть - пространство измеримых квадратично интегрируемых относительно меры Лебега функций, заданных на отрезке [0,1] со значениями в . Пусть - ортонормированное семейство функций в , т.е. , где - символ Кронекера. Обозначим . Пусть – счетное семейство независимых в совокупности стандартных нормальных случайных величин. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что ряд P - п. н. cходится для любого t и обладает свойствами i)-iv).

Пусть . Очевидно, что:

1) ;

2) , где - скалярное произведение в

;

3) ;

4) , где - норма в .

Обозначим . Очевидно, что:

1) для любого - гауссовская случайная величина, причем для любых n;

(1)

 

Отсюда следует, что - квадратично интегрируем. Рассмотрим , причем без ограничения общности можно считать, что . В силу (1), имеем

Стало быть, справедлив критерий Коши. Поэтому в среднеквадратичном смысле сходится к некоторой , т.е. для любого , причем в силу леммы 2 случайная величина имеет гауссовское распределение.

Построенный процесс обладает свойствами.

1) ;

1) Траектории - непрерывны.

Действительно, в силу леммы 3 имеем , отсюда в силу теоремы 2 главы 3 получаем утверждение.

1) (следует из леммы 2).

Осталось установить, что – процесс с независимыми приращениями. Для этого достаточно показать, что Действительно,

Доказательство закончено.

1.1.4. Замечания. 1) Рассмотрим . Отсюда следует, что для любого и ограниченного n дифференцируем по t, т.е. P - п. н. существует , причем . Очевидно, что при для любого .

2) Из неравенства Коши-Буняковского следует, что .

1.2. Теорема 4. Обозначим . Тогда относительно меры Р винеровский процесс является мартингалом.

Доказательство. Нам надо проверить: 1) ; 2) при . Заметим, что 1) следует из пункта 2) замечания 1.1.4. Осталось доказать, что , но в силу того, что имеет независимые приращения имеем .

Доказательство закончено.

1.2.1. Замечание. Очевидно, что является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.

1.3. В дальнейшем нам понадобится одно свойство приращений винеровского процесса.

Теорема 5. Пусть и. Пусть разбиение отрезка [ s,t ] такое, что , когда .

Тогда .


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 818 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.004 сек.)