Теорема 1. Винеровский процесс существует
Доказательство теоремы опирается на два вспомогательных утверждения
1.1.1. Лемма 2. Пусть последовательность гауссовских случайных величин такая, что существует .Тогда X -гауссовская случайная величина.
Доказательство. Обозначим . Тогда, в силу свойства гауссовости последовательности , имеем Пусть любые ,а , тогда имеем
Отсюда следует, что
Поэтому
Значит, , так как и , при т.е.
. Доказательство закончено.
1.1.2. Лемма 3. Пусть . Пусть , , причем . Тогда справедливо равенство .
Доказательство утверждения леммы следует из формулы интегрирования по частям.
1.1.3. Доказательство (теоремы 1) Пусть - пространство измеримых квадратично интегрируемых относительно меры Лебега функций, заданных на отрезке [0,1] со значениями в . Пусть - ортонормированное семейство функций в , т.е. , где - символ Кронекера. Обозначим . Пусть – счетное семейство независимых в совокупности стандартных нормальных случайных величин. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что ряд P - п. н. cходится для любого t и обладает свойствами i)-iv).
Пусть . Очевидно, что:
1) ;
2) , где - скалярное произведение в
;
3) ;
4) , где - норма в .
Обозначим . Очевидно, что:
1) для любого - гауссовская случайная величина, причем для любых n;
(1)
Отсюда следует, что - квадратично интегрируем. Рассмотрим , причем без ограничения общности можно считать, что . В силу (1), имеем
Стало быть, справедлив критерий Коши. Поэтому в среднеквадратичном смысле сходится к некоторой , т.е. для любого , причем в силу леммы 2 случайная величина имеет гауссовское распределение.
Построенный процесс обладает свойствами.
1) ;
1) Траектории - непрерывны.
Действительно, в силу леммы 3 имеем , отсюда в силу теоремы 2 главы 3 получаем утверждение.
1) (следует из леммы 2).
Осталось установить, что – процесс с независимыми приращениями. Для этого достаточно показать, что Действительно,
Доказательство закончено.
1.1.4. Замечания. 1) Рассмотрим . Отсюда следует, что для любого и ограниченного n дифференцируем по t, т.е. P - п. н. существует , причем . Очевидно, что при для любого .
2) Из неравенства Коши-Буняковского следует, что .
1.2. Теорема 4. Обозначим . Тогда относительно меры Р винеровский процесс является мартингалом.
Доказательство. Нам надо проверить: 1) ; 2) при . Заметим, что 1) следует из пункта 2) замечания 1.1.4. Осталось доказать, что , но в силу того, что имеет независимые приращения имеем .
Доказательство закончено.
1.2.1. Замечание. Очевидно, что является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.
1.3. В дальнейшем нам понадобится одно свойство приращений винеровского процесса.
Теорема 5. Пусть и. Пусть разбиение отрезка [ s,t ] такое, что , когда .
Тогда .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 814 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|