Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что
.
Действительно, в силу теоремы Фубини, имеем:
. (2)
Заметим, что в силу леммы 3
(3)
Значит, (2) с учетом (3) будет иметь вид:
Доказательство закончено.
1.1 Свойства винеровского процесса.
1) Пусть - винеровский процесс, не зависящий от . (Докажите самостоятельно).
2) Свойство автомодальности: для любого процесс , является винеровским процессом. Достаточно показать, что . Действительно .
3) для любого – винеровский процесс.
Достаточно показать, что . Действительно, .
4) P – п. н. .
Это утверждение следует из того, что и усиленного закона больших чисел.
5) Процесс является винеровским процессом,
6) Это равенство следует из леммы 3.
Неравенство Дуба. Для любого
(4)
Доказательство. Пусть . Очевидно, что (докажите это неравенство самостоятельно). Заметим, что
Поэтому (5)
Из равенства P – п. н. и неравенства Иенсена
получаем, что
Из (5) и приведенных неравенств следует неравенство Дуба.
8) Гёльдеровское свойство Леви
.
Доказательство этого утверждения проведем в два этапа: 1) сначала покажем, что P - п. н. , 2) установим неравенство
P – п. н.
1) Доказательство неравенства P – п. н.. Пусть и . Пусть имеется диадическое разбиение отрезка [0, t ] точками . Тогда имеем
Обозначим . Значит, справедливо неравенство
Так как Поэтому, в силу леммы Бореля-Кантелли, имеем при
2) Установим неравенство P – п. н.. Положим . Тогда имеем
Так как , то правая часть последнего неравенства является общим членом сходящегося ряда. Следовательно, в силу леммы Бореля-Кантелли получаем утверждение.
Замечание. Из гёльдеровского свойства Леви следует, что P - п. н.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 574 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|