Существование и единственность сильных решений стохастических уравнений
5.1. В данном параграфе мы вводим понятия стохастического дифференциального уравнения, а также устанавливаем условия разрешимости этих уравнений.
5.2. Пусть имеется стохастический базис и - винеровский процесс на нём. Через обозначим измеримое пространство непрерывных функций на со значениями в . Пусть - измеримые функции.
Определение. Будем говорить, что случайный процесс Ито является сильным решением стохастического уравнения
, (22),
если и при каждом - измерим, и Р -п. н. справедливо (22).
В дальнейшем (22) будем называть стохастическим уравнением.
Определение. Будем говорить, что стохастическое уравнение (22) имеет единственное сильное решение, если для любых его двух сильных решений , таких, что , справедливо .
5.3. Приведём, а затем и обоснуем условия существования и единственности сильных решений стохастического уравнения (22).
Теорема 12. Пусть выполняются условия:
1) , – измеримые функции;
2) существует константа такая, что для любых :
i) ,
ii) ;
3) случайная величина не зависит от и .
Тогда у стохастического уравнения (22) существует единственное сильное решение для любого .
Замечание. Из условия 2) теоремы следует, что коэффициенты стохастического уравнения (22) удовлетворяют условию . Действительно, из условия 2) следует, что
Доказательство. Установим сначала единственность сильного решения стохастического уравнения (22). Пусть - два решения стохастического уравнения (22), причём . Тогда очевидно
(23)
Возьмём математическое ожидание относительно левой и правой частей неравенства (22), а затем к первому слагаемому правой части (22 применим неравенство Коши-Буняковского, имеем
(24)
Из свойств стохастических интегралов, условия 2) теоремы и теоремы Фубини, имеем из (22)
.
Отсюда, в силу леммы Гронуолла-Беллмана, следует единственность сильного решения у (22).
Установим, теперь, существование сильного решения у (22). Для этого воспользуемся методом последовательных приближений. Положим
(25).
Сначала покажем, что для любых существует константа такая, что . Действительно, из (25), в силу замечания из пункта 5.3.1, имеем
. (26) Рассмотрим . В силу (25) и условия Липшица, имеем
(27) где . Заметим теперь, что Р -п. н.
Отсюда, в силу леммы 9 и условия 2i), имеем
.
Поэтому ряд
.
Стало быть, в силу леммы Бореля-Кантелли ряд сходится Р -п. н. равномерно по t. Значит последовательность непрерывных процессов Р -п. н. равномерно сходится к непрерывному процессу . Из оценки (26) и леммы Фату следует, что
.
Покажем, что построенный процесс является решением уравнения (22). В соответствии с (25), покажем, что равномерно по t при . Из (23) и (25) имеем Р -п. н.
. (28).
Заметим, что:
i) в силу условия Липшица, Р -п. н. имеем
, (29).
ii) в силу леммы 10 и условия Липшица, имеем для любых и
. (30).
Так как , поэтому из (30) и (29) следует, что (28) стремится к 0 по вероятности при равномерно по t. Значит является сильным решением, так как из предыдущих построений следует, что оно - измеримо, где . Доказательство закончено.
5.4. Замечание. Пусть - единственное сильное решение следующего стохастического уравнения
. (31).
Из теоремы 12 следует, что существует функционал , где - пространство непрерывных функций на со значениями в (обозначаемые через , обозначаемый через такой, что Р -п. н. . Пусть - единственное сильное решение стохастического уравнения
.
Тогда очевидно следующее равенство Р-п. н. для любого
.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 571 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|