Замечание. Неупреждающие функции часто называют функциями, не зависящими от будущего
2.3. Определение. Функция называется простой, если для конечного разбиения отрезка [0, T ] существуют
случайные величины , где -измерима, а -измерима, , такие, что где
Для простых функций стохастический интеграл определяем равенством
и, так как , то
P - п. н.
Для стохастического интеграла от простой функции будем использовать также обозначение .
Очевидно, что
,
где
Отметим, теперь основные свойства стохастических интегралов от простых функций:
1) P - п. н..
2) P - п. н. при
3) - P - п. н. непрерывная по t функция,
4) P - п. н.,
5) P - п. н., где простые функции.
Действительно, так как , то имеем
(9)
Рассмотрим первую сумму правой части равенства (9), в силу свойства K* условного математического ожидания (смотри §12 главы 1) и свойства iii) винеровского процесса, имеем
.
Поэтому, имеем
(10)
Рассмотрим вторую сумму правой части (9). Воспользуемся опять свойством K* условного математического ожидания и свойствами винеровского процесса, имеем учитывая, что
Здесь мы учли тот факт, является мартингалом относительно меры Р. Значит
. (11)
Таким образом утверждение следует из равенств (9) – (11)
6) Если для всех , то P -п.н. для любого .
7) Процесс - прогрессивно измерим. Это утверждение следует из теоремы 1 главы 3 и, в частности, -измерим при каждом .
8) .
Действительно, из определения стохастического интеграла от простой функции имеем:
Заметим, что для любого j в силу -измеримости , имеем
Отсюда следует утверждение.
2.4. Определим стохастический интеграл для функции из класса .
Лемма 8. Пусть функция . Тогда найдется последовательность простых функций таких, что при .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 658 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|