АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Доказательство. Сначала сделаем несколько замечаний

Прочитайте:
  1. Б) несколько сотен
  2. В родильный дом доставлена первобеременная 20 лет с жалобами на плохой сон, жажду, головную боль, мелькание «мушек» перед глазами. Несколько раз была рвота.
  3. В сложной таблице имеются несколько сказуемых.
  4. Выберите несколько правильных ответов
  5. Выберите несколько правильных ответов.
  6. Выберите несколько правильных ответов.
  7. Выберите один (или несколько) правильных ответов
  8. Выберите один или несколько ответов из списка, пользуясь следующим кодом: А — верно 1, 2, 3. В — верно 1 и 3. С — верно 2 и 4. D — верно только 4. Е — верно всё.
  9. Выберите один или несколько правильных ответов
  10. Выберите один или несколько правильных ответов

1) Без ограничения общности можно считать функцию ограниченной, т.е. P - п. н. для . В противном случае можно перейти от к функциям , где

и использовать тот факт, что при .

2) Пусть . Если , то сразу можно считать, что функция - финитна по t.

3) Если функция - непрерывна по t P - п. н. почти наверно, то последовательность простых функций строится просто, например, можно положить при . Тогда доказательство леммы следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

4) Если функция - прогрессивно измерима, то последовательность аппроксимирующих функций можно построить следующим образом. Пусть - интеграл Лебега. В силу прогрессивной измеримости процесс , измерим и при каждом t случайные величины - измеримы. Положим .

Случайный процесс , измерим, является неупреждающим и имеет P - п. н. непрерывные траектории. Поэтому, согласно пункту 3), сделанных выше замечаний, существует последовательность неупреждающих ступенчатых функций , такая, что при . Заметим, что P - п. н. для почти всех существует производная , причем в тех точках, где существует P - п. н. Поэтому для почти всех (по мере ) по теореме Лебега о мажорируемой сходимости, имеем

при .

5) Докажем теперь лемму в общем случае. Доопределим функцию для отрицательных , полагая при . Пусть -ограничена и финитна. Положим . Заметим, что функция является при каждом фиксированном простой. Лемма будет доказана, если показать, что можно выбрать точку таким образом, что будет выполнено при .

Для этого воспользуемся следующим замечанием: если , -измеримая, ограниченная функция, то . Действительно, согласно пункту 4), для всякого найдется почти всюду такая непрерывная функция , что

(12).

Тогда в силу неравенства Минковского, имеем

.

Отсюда в силу произвольности , следует (12). Из (12) вытекает также, что для

и, в частности,

,

Из последнего равенства следует, что существует такая подпоследовательность чисел , что для почти всех (по мере )

Отсюда, переходя к новым переменным , получим, что для почти всех (по мере ) при и, значит, найдется такая точка , что

Доказательство закончено.

2.3.1. Замечание. Доказательство леммы 8, приведенное выше, имеет ту ценность, что указывает способ построения простых функций непосредственно по .

2.4. Итак, пусть . Тогда, в силу леммы 8, существует последовательность такая, что . Следовательно,

.

Таким образом, последовательность фундаментальна в смысле сходимости в среднеквадратическом, т. е. . Значение этого предела, как нетрудно увидеть, не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности. Следовательно, определение стохастического интеграла корректно.

2.5. Свойства стохастических интегралов. Пусть .

1) , где

2) Р -п. н., где ,

3) Р -п. н. при .

4) -непрерывная функция t Р -п. н..

5) Р -п. н. при .

6) .

7) Если для всех и , то Р -п. н. для ;

8) Процесс - прогрессивно измерим и, в частности, - измерим при каждом .

9) Процесс - квадратично интегрируемый мартингал с непрерывными траекториями.

2.6. Для построения стохастических интегралов для неупреждающих функций из класса нам понадобятся 2 вспомогательные леммы.

2.6.1. Лемма 9. 1) Пусть .Тогда найдётся последовательность простых функций такая, что по вероятности

. (13).

2) Cуществует последовательность простых функций , где для , для которых (13) выполнено как в смысле сходимости по вероятности, так и с вероятностью единица.

Доказательство этой леммы основано на использовании леммы 8, неравенства Чебышёва и леммы Бореля-Кантелли. Из-за громоздкости доказательства его не приводим.

2.6.2. Лемма 10. Пусть Œ и событие . Тогда

,

в частности

.

Доказательство. Пусть , где

, .

Используя свойство 6) стохастических интегралов, имеем

.

В соответствии со свойствами стохастических интегралов справедливо включение

.

Поэтому для " A Î FT, имеем

.

Воспользуемся неравенством Колмогорова (теорема 8 главы 3)

,

в силу которого имеем

Доказательство закончено.

2.6.3. Замечание. Утверждения лемм 8, 9, 10 остаются справедливыми, если в их формулировках момент Т заменить на марковский момент s, потребовав при этом, чтобы в них , соответственно.

2.7. С помощью лемм 9 и 10 легко сконструировать стохастический интеграл для неупреждающей функции из класса .

Пусть , аппроксимирующие функцию в смысле леммы 9. Тогда очевидно, что для любого

Согласно лемме 10 для любых и

Поэтому в силу произвольности получаем

.

Таким образом, последовательность случайных величин сходится по вероятности к некоторой случайной величине, которую мы обозначим через и назовём стохастическим интегралом от функции по винеровскому процессу .

В заключение заметим, легко показать, что значение с точностью до множеств нулевой меры Р не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.

 


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 548 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.008 сек.)