Доказательство. Сначала сделаем несколько замечаний
1) Без ограничения общности можно считать функцию ограниченной, т.е. P - п. н. для . В противном случае можно перейти от к функциям , где
и использовать тот факт, что при .
2) Пусть . Если , то сразу можно считать, что функция - финитна по t.
3) Если функция - непрерывна по t P - п. н. почти наверно, то последовательность простых функций строится просто, например, можно положить при . Тогда доказательство леммы следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.
4) Если функция - прогрессивно измерима, то последовательность аппроксимирующих функций можно построить следующим образом. Пусть - интеграл Лебега. В силу прогрессивной измеримости процесс , измерим и при каждом t случайные величины - измеримы. Положим .
Случайный процесс , измерим, является неупреждающим и имеет P - п. н. непрерывные траектории. Поэтому, согласно пункту 3), сделанных выше замечаний, существует последовательность неупреждающих ступенчатых функций , такая, что при . Заметим, что P - п. н. для почти всех существует производная , причем в тех точках, где существует P - п. н. Поэтому для почти всех (по мере ) по теореме Лебега о мажорируемой сходимости, имеем
при .
5) Докажем теперь лемму в общем случае. Доопределим функцию для отрицательных , полагая при . Пусть -ограничена и финитна. Положим . Заметим, что функция является при каждом фиксированном простой. Лемма будет доказана, если показать, что можно выбрать точку таким образом, что будет выполнено при .
Для этого воспользуемся следующим замечанием: если , -измеримая, ограниченная функция, то . Действительно, согласно пункту 4), для всякого найдется почти всюду такая непрерывная функция , что
(12).
Тогда в силу неравенства Минковского, имеем
.
Отсюда в силу произвольности , следует (12). Из (12) вытекает также, что для
и, в частности,
,
Из последнего равенства следует, что существует такая подпоследовательность чисел , что для почти всех (по мере )
Отсюда, переходя к новым переменным , получим, что для почти всех (по мере ) при и, значит, найдется такая точка , что
Доказательство закончено.
2.3.1. Замечание. Доказательство леммы 8, приведенное выше, имеет ту ценность, что указывает способ построения простых функций непосредственно по .
2.4. Итак, пусть . Тогда, в силу леммы 8, существует последовательность такая, что . Следовательно,
.
Таким образом, последовательность фундаментальна в смысле сходимости в среднеквадратическом, т. е. . Значение этого предела, как нетрудно увидеть, не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности. Следовательно, определение стохастического интеграла корректно.
2.5. Свойства стохастических интегралов. Пусть .
1) , где
2) Р -п. н., где ,
3) Р -п. н. при .
4) -непрерывная функция t Р -п. н..
5) Р -п. н. при .
6) .
7) Если для всех и , то Р -п. н. для ;
8) Процесс - прогрессивно измерим и, в частности, - измерим при каждом .
9) Процесс - квадратично интегрируемый мартингал с непрерывными траекториями.
2.6. Для построения стохастических интегралов для неупреждающих функций из класса нам понадобятся 2 вспомогательные леммы.
2.6.1. Лемма 9. 1) Пусть .Тогда найдётся последовательность простых функций такая, что по вероятности
. (13).
2) Cуществует последовательность простых функций , где для , для которых (13) выполнено как в смысле сходимости по вероятности, так и с вероятностью единица.
Доказательство этой леммы основано на использовании леммы 8, неравенства Чебышёва и леммы Бореля-Кантелли. Из-за громоздкости доказательства его не приводим.
2.6.2. Лемма 10. Пусть и событие . Тогда
,
в частности
.
Доказательство. Пусть , где
, .
Используя свойство 6) стохастических интегралов, имеем
.
В соответствии со свойствами стохастических интегралов справедливо включение
.
Поэтому для " A Î FT, имеем
.
Воспользуемся неравенством Колмогорова (теорема 8 главы 3)
,
в силу которого имеем
Доказательство закончено.
2.6.3. Замечание. Утверждения лемм 8, 9, 10 остаются справедливыми, если в их формулировках момент Т заменить на марковский момент s, потребовав при этом, чтобы в них , соответственно.
2.7. С помощью лемм 9 и 10 легко сконструировать стохастический интеграл для неупреждающей функции из класса .
Пусть , аппроксимирующие функцию в смысле леммы 9. Тогда очевидно, что для любого
Согласно лемме 10 для любых и
Поэтому в силу произвольности получаем
.
Таким образом, последовательность случайных величин сходится по вероятности к некоторой случайной величине, которую мы обозначим через и назовём стохастическим интегралом от функции по винеровскому процессу .
В заключение заметим, легко показать, что значение с точностью до множеств нулевой меры Р не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 553 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|