АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Случайные меры

Прочитайте:
  1. Адгезивные молекулы (молекулы суперсемейства иммуноглобулинов, интегрины, селектины, муцины, кадхерины): строение, функции, примеры. CD-номенклатура мембранных молекул клеток.
  2. Антагонизм. Разновидности. Примеры.
  3. Виды катетеров, размеры.
  4. Глава 2. Случайные последовательности.
  5. Если имеют место эти критерии — имеет место психоз, бросаем все, принимаем меры.
  6. Жесткие базисные полимеры.
  7. Клинические примеры.
  8. Лекарственные формы. Определение. Примеры.
  9. НАРУШЕНИЕ ВОЛЕВОЙ СФЕРЫ. НАРУШЕНИЕ СФЕРЫ ВЛЕЧЕНИЙ. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ РАССТРОЙСТВА ВЛЕЧЕНИЙ, КЛИН. ПРИМЕРЫ.
  10. Общая анатомия мышц. Строение, функции мышц. Примеры. Вспомогательные аппараты мышц. Мышца как орган.

13.1. Напомним определение - конечной меры.

Определение. Мера называется s - конечной, если для любого замкнутого ограниченного множества существует последовательность множеств , где , такая, что: a) при , б) .

Определение. Мера называется случайной и обозначается , где , если:

а) при фиксированных w и A как функция t является случайным процессом, б) при фиксированных w и t s - конечная мера, в) для .

Пусть - измеримая функция такая, что определён интеграл Лебега обозначаемый .

Обозначим .

Определение. Случайная мера m называется опциональной (предсказуемой), если для любой неотрицательной - измеримой функции Х процесс является опциональным (предсказуемым).

13.2. Обозначим .

Определение. Меру назовем мерой Долиан, если .

Отсюда следует, что для всякой неотрицательной - измеримой функции X(w, t, x) определен интеграл по мере Долиан:

.

Определение. Мера Долиан называется конечной, если . Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера m принадлежит классу (пишем ), если .

Определение. Mepa Долиан называется - s-конечной, если существует последовательность множеств таких, что , где , и для .

Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера принадлежит классу (пишем ) если , где и .

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 42. .

13.3. Определение. Будем говорить, что случайные меры и совпадают Р - п. н. (пишем ), если для любой неотрицательной - измеримой функции Х .

Из этого определения следует утверждение.

Предложение 43, Пусть и - опциональные случайные меры такие, что:

а) для любой - измеримой X; б) хотя бы одна из них принадлежит . Тогда .

13.4. Определение. Компенсатором опциональной случайной меры называется предсказуемая мера (т. е. ) такая, что для любой неотрицательной, - измеримой функции Х(, t, х) .

Теорема 44. У всякой опциональной случайной меры существует и притом единственный компенсатор , т. е. (с точностью до нулевой меры Р). (Доказательство следует из теоремы Дуба - Мейера).

13.5. Определение. Случайная мера называется целочисленной, если:

1) для всех и ;

2) для принимает значения в ;

3) для фиксированных - - конечная мера;

4) для фиксированных - опциональный процесс.

Следующая теорема вытекает из определения целочисленной случайной меры и теорем 13 и 23.

Теорема 45. Пусть - целочисленная случайная мера, тогда существует мно­жество D и опциональный случайный процесс со значениями в Е такие, что , где - мера Дирака сосредоточенная в точке . Если - последовательность моментов остановки, исчерпывающая тонкое множество D, то для любой неотрицательной - измеримой функции спра­ведливо равенство

Р - п. н.

Следствие 46. Пусть - опциональный процесс со значениями в Rd. То­гда формула определяет целочис-ленную случайнуюмеру на .

§14 Случайные меры и мультивариантные точечные процессы.

14.1. Пусть - m - вариантный точечный процесс, a

, - считающие процессы, где .

Пример. Пусть - случайный процесс определённый соотно­шением - пуассоновский случайный процесс с интенсивностью . Ясно, что процесс принимает два значения {-1, 1}, причём время пребывания в состоянии -1 или в состоянии 1 распределены экспонен-циально с параметром . Этот процесс имеет кусочно-постояные траектории и непрерывен справа, поэтому он опционален. Через обозначим число попаданий в состояние 1(-1) за время t процессом . Очевидно, что если для , то можно построить следующим образом:

,

.

Ясно также, что с помощью и можно описать процесс

,

так как . Легко показать, что для справедливо предста­вление

,

причем - ограниченные мартингалы (относительно меры Р) для .

Приведённый выше пример служит основой для дальнейших построений.

14.2. Перейдем теперь к построению целочисленной случайной меры k - вариантного точечного процесса и её компенсатора.

В предыдущих параграфах мы установили связь между скачко-образными и мультивариантными точечными процессами. Итак, пусть - скачкообразный опци­ональный случайный процесс со значениями в Е, причём . В соответствии с результатами параграфа 13 для процесса определена целочисленная случайная мера , где - последовательность марковских моментов, исчерпывающая скачки процесса , . Очевидно, что при фиксированных это опциональный неубывающий процесс, т. е. при t ³ s. Стало быть, является субмартингалом и по теореме Дуба-Мейера существует компенсатор , т. е. является мартингалом относительно потока и меры Р. Предположим дополнительно, что имеет неслучай­ную матрицу интенсивности перехода . Тогда в силу теоремы 35 допускает представление:

. (9)

Обозначим - число переходов процесс из состояния j в состояние i за время t. Ясно, что его можно представить в виде:

.

Найдём компенсатор - случайной меры . Сначала заметим, что

.

Отсюда, в силу (9), имеем:

. (16)

Заметим: 1) для Р - п. н.

;

2) так как - ограниченный предсказуемый процесс, то

стохастический инте­грал является мартингалом. Поэтому процесс является компенсатором - целочисленной случайной меры относительно меры P.

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 648 | Нарушение авторских прав


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.008 сек.)