Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Полумартингалы

Прочитайте:

Марковские моменты. Локальные полумартингалы.

2.1. Определение. Будем говорить, что процесс - мартингал, если выполняются условия: 1) , 2) Р - п. н., и .

Будем говорить, что - супермартингал, если: 1) , 2) Р - п. н. для и .

Процесс субмартингал, если: 1) , 2) Р - п. н. для и .

Множество случайных процессов, являющихся "суб", "супер", или просто мартингалами называется полумартингалами. Множество полумартингалов обозначим через .

Пример. Рассмотрим пуассоновский процесс . Из его определения следует, что для . Поэтому . Следовательно, пуассоновский процесс - субмартингал.

Ниже мы покажем, что если , то он допускает представление где - процесс имеющий ограниченную вариацию, а - мартингал.

2.2. Определение. Случайный процесс называется предсказуемым, если его траектории непрерывны слева, имеют предел справа и не имеют разрывов второго рода.

Теорема 5 (Дуба - Мейера). Пусть - субмартингал относительно меры Р. Тогда существует единственный предсказуемый возрастающий процесс такой, что для любого Р - п. н.
где - мартингал.

(Без доказательства.)

Замечание. Если - супермартингал, то - субмартингал. Следовательно значит из где .

Пример. Пусть - пуассоновский процесс, тогда Р - п. н. для , где - мартингал относительно меры Р.

2.3. Определение. Мартингал относительно меры Р называется регулярным, если существует -измеримая случайная величина , такая, что Р - п. н. для .

2.3.1. Замечание. Очевидно, что регулярность мартингала относительно меры Р эквивалентна требованию равномерной интегрируемости семейства .

2.3.2. Теорема 6. Пусть регулярный мартингал относительно меры Р, а семейство непрерывно справа. Тогда у процесса существует модификация с траекториями непрерывными справа и имеющими левый предел.

Доказательство. Так как - регулярный мартингал, существует - измеримая интегрируемая случайная величина такая, что . Тогда для каждого имеем Р - п. н.
.
Поэтому, если положить , то получим непрерывную справа модификацию.

Покажем теперь, что существует левый предел. Действительно, если бы с положительной вероятностью этот предел не существовал, то тогда среднее число пересечений отрезка снизу вверх за время обозначаемое через было бы равно , но . Указанное противоречие довершает доказательство теоремы.

2.4. Приведем теперь условия существования непрерывной справа модификации у супермартингала.

Теорема 7. Пусть - непрерывно справа, а супермартингал относительно меры Р. Супермартингал имеет непрерывную справа модификацию тогда и только тогда, когда функция времени непрерывна справа.

Доказательство. В силу условий теоремы Р - п. н., а из того, что , имеем
Р - п. н. для .

Отметим Р - п. н. тогда и только тогда, когда .

Пусть . Так как равномерно интегрируемо, то . Стало быть, Р - п. н. тогда и только тогда, когда . Поскольку как функция убывает, то это равносильно ее непрерывности справа в точке .

Пусть - непрерывная справа модификация супермартингала . Тогда для каждого (как функция времени, в силу приведенных выше рассуждений) непрерывна справа. Обратно, если функция времени непрерывна справа, то процесс представляет собой непрерывную справа модификацию. Доказательство закончено.

2.5. В дальнейшем нам понадобится неравенство Колмогорова для квадратично интегрируемых мартингалов.

Определение. Мартингал относительно меры Р назовем квадратично интегрируемым, если .

Теорема 8 (неравенство Колмогорова). Пусть – квадратично интегрируемый мартингал. Тогда для любого

Доказательство. Пусть , где . Очевидно, что и - марковские моменты, причем Р - п. н. Поэтому . Заметим теперь, что .
Поэтому в силу неравенства Чебышева, имеем .
Доказательство закончено.