Свойства компенсаторов точечных процессов. Случайная замена времени
8.1. Теорема 31. Справедливы утверждения.
1) Компенсатор точечного процесса допускает единственное разложение , где - непрерывная составляющая, - разрывная составляющая.
2) Р - п. н.
3) P – п. н. для любого t.
Доказательство. 1) Первое утверждение теоремы следует из теоремы 24.
2) Так как , то . Заметим, что - измерим, поэтому . Так как , то Р - п. н.
3) Сначала заметим, что Р – п. н.
.
Так как является мартингалом, a - предсказуемый возрастающий процесс. Поэтому из теоремы Дуба - Мейера следует третье утверждение. Теорема доказана.
8.2. Пусть - точечный процесс, а - его компенсатор, где - измеримая функция.
Теорема 32. Пусть Р - п. н. . Пусть существует функция
, обозначаемая через , такая, что . Тогда - стандартный пуассоновский процесс (т. е. интенсивность его равна единице).
Доказательство. Сначала покажем, что процесс имеет компенсатор t, т. е. - мартингал относительно потока и меры Р. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс, тогда имеем, в силу теоремы 30, .
Покажем теперь, что . Очевидно, что - точечный процесс, поэтому . Отсюда следует, что . Значит . Доказательство закончено.
§9 Мультивариантные точечные процессы.
9.1. Определение. Мультивариантным точечным процессом на называется последовательность , где - марковские моменты такие, что: а) ; б) на множестве ; в) на множестве ; а на множестве и на множестве где - некоторая "фиктивная" точка, причём для .
По мультивариантному точечному процессу легко построить опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями. Действительно, для любого n положим
Очевидно, что таким образом построенный случайный процесс является согласованным и его траектории непрерывны справа и имеют конечный левый предел, т. е. принадлежат пространству Скорохода.
Обозначим - число попаданий мультивариантного точечного процесса в множество за время t. Очевидно, что считающий процесс, поэтому - субмартингал (относительно меры Р). Стало быть, по теореме Дуба-Мейера существует единственный предсказуемый возрастающий процесс такой, что мартингал, т. е. - компенсатор.
Определение. Пусть Е - конечное или счётное множество, причем , в этом случае мультивариантный точечный процесс будем называть k-вариантным.
9.3. Пусть , где опциональный процесс построенный по мультивариантному точечному процессу с кусочно-постоянными со значениями в Е, где Е - конечное или счетное множество. Через обозначим элементы множества Е и назовем их состояниями. Пусть - одноточечное множество, т.е. . Через обозначим число попаданий процесса за время t в состояние i. Очевидно, что: 1) , 2) , где марковские моменты такие, что . Справедливо утверждение.
Предложение 33. Пусть - считающий процесс. Тогда для любых и Р - п. н. справедливы представления:
1)если , то
,
где ,
2)
Доказательство. 1) Так как , то, очевидно, что P – п. н. для любых ,
.
Получившееся равенство перепишем в виде интеграла Римана-Стилтьеса, имеем P – п. н. .
Отсюда следует первое утверждение предложения.
2) Так как марковские моменты нагружают процесс , то P – п. н. для любого . Поэтому P – п. н. для любого . Следовательно, P – п. н. для любых , , имеем
Последнее равенство перепишем в виде интеграла Римана – Стилтьеса, имеем P – п. н. . Доказательство закончено.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 815 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|