АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Свойства компенсаторов точечных процессов. Случайная замена времени

Прочитайте:
  1. IV. Контрольные тесты c рисунками для проведения первого этапа экзамена
  2. IV. Контрольные тесты для проведения первого этапа экзамена
  3. А) в ЧС мирного времени.
  4. А. Свойства и виды рецепторов. Взаимодействие рецепторов с ферментами и ионными каналами
  5. Абразивные материалы и инструменты для препарирования зубов. Свойства, применение.
  6. Адгезивные системы. Классификация. Состав. Свойства. Методика работы. Современные взгляды на протравливание. Световая аппаратура для полимеризации, правила работы.
  7. Аденовирусы, морфология, культуральные, биологические свойства, серологическая классификация. Механизмы патогенеза, лабораторная диагностика аденовирусных инфекций.
  8. Альгинатные оттискные массы. Состав, свойства, показания к применению.
  9. Анатомия и гистология сердца. Круги кровообращения. Физиологические свойства сердечной мышцы. Фазовый анализ одиночного цикла сердечной деятельности
  10. Антигенные свойства

8.1. Теорема 31. Справедливы утверждения.

1) Компенсатор точечного процесса допускает един­ственное разложение , где - непрерывная составляющая, - разрывная составляющая.

2) Р - п. н.

3) P – п. н. для любого t.

Доказательство. 1) Первое утверждение теоремы следует из теоремы 24.

2) Так как , то . Заметим, что - измерим, поэтому . Так как , то Р - п. н.

3) Сначала заметим, что Р – п. н.

.

Так как является мартингалом, a - предсказуемый возрастающий процесс. Поэтому из теоремы Дуба - Мейера следует третье утверждение. Теорема доказана.

8.2. Пусть - точечный процесс, а - его компенсатор, где - измеримая функция.

Теорема 32. Пусть Р - п. н. . Пусть существует функция

, обозначаемая через , такая, что . Тогда - стандартный пуассоновский процесс (т. е. интенсивность его равна единице).

Доказательство. Сначала покажем, что процесс имеет компенсатор t, т. е. - мартингал относительно потока и меры Р. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс, тогда имеем, в силу теоремы 30, .

Покажем теперь, что . Очевидно, что - точечный процесс, поэтому . Отсюда следует, что . Значит . Доказательство закончено.

 

§9 Мультивариантные точечные процессы.

9.1. Определение. Мультивариантным точечным процессом на называется последовательность , где - марковские моменты такие, что: а) ; б) на множестве ; в) на множестве ; а на множестве и на множестве где - некоторая "фиктивная" точка, причём для .

По мультивариантному точечному процессу легко построить опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями. Действительно, для любого n положим

Очевидно, что таким образом построенный случайный процесс является согласованным и его траектории непрерывны справа и имеют конечный левый предел, т. е. принадлежат пространству Скорохода.

Обозначим - число попаданий мультивариантного точечного процесса в множество за время t. Очевидно, что считающий процесс, поэтому - субмартингал (относительно меры Р). Стало быть, по теореме Дуба-Мейера существует единственный предсказуемый возрастающий процесс такой, что мартингал, т. е. - компенсатор.

Определение. Пусть Е - конечное или счётное множество, причем , в этом случае мультивариантный точечный процесс будем называть k-вариантным.

9.3. Пусть , где опциональный процесс построенный по мультивариантному точечному процессу с кусочно-постоянными со значениями в Е, где Е - конечное или счетное множество. Через обозначим элементы множества Е и назовем их состояниями. Пусть - одноточечное множество, т.е. . Через обозначим число попаданий процесса за время t в состояние i. Очевидно, что: 1) , 2) , где марковские моменты такие, что . Справедливо утверждение.

Предложение 33. Пусть - считающий процесс. Тогда для любых и Р - п. н. справедливы представления:

1)если , то

,

где ,

2)

Доказательство. 1) Так как , то, очевидно, что P – п. н. для любых ,

.

Получившееся равенство перепишем в виде интеграла Римана-Стилтьеса, имеем P – п. н. .

Отсюда следует первое утверждение предложения.

2) Так как марковские моменты нагружают процесс , то P – п. н. для любого . Поэтому P – п. н. для любого . Следовательно, P – п. н. для любых , , имеем

Последнее равенство перепишем в виде интеграла Римана – Стилтьеса, имеем P – п. н. . Доказательство закончено.

 


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 813 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.004 сек.)