Основные определения. Описание процессов с непрерывным временем
Глава 3. Элементы общей теории случайных процессов. Точечные случайные процессы.
Основные определения. Описание процессов с непрерывным временем.
1.1. Пусть - измеримое пространство.
Определение. Пусть , а - семейство на -алгебре на . Семейства назовем потоком -алгебр или фильтрацией, если для при и .
Замечание. Фильтрация описывает историю некоторого явления, и называют -алгебройсобытий предшествующих моменту времени t.
Определение. Будем говорить, что поток -алгебр непрерывен справа, если .
Определение. Пусть имеется два измеримых пространства и . Случайным процессом с непрерывным временем, определенным на со значениями в называется семейство случайных элементов со значениями в E. Пространство будем называть пространством элементарных исходов, а E - пространством состояний.
Для значение называется состоянием случайного процесса в момент времени . Для фиксированного множество называется траекторией или реализацией случайного процесса.
Определение. Случайный процесс называется согласованным с фильтрацией , если при каждом он -измерим, для него будем использовать обозначение .
Определение. - вероятностное пространство с фильтрацией называется стохастическим базисом, если - непрерывно справа и для него будем использовать обозначение .
Соглашение: будем полагать везде ниже, что стохастический базис полный, т.е. -алгебра F и фильтрация (для ) пополнены множествами нулевой меры P.
1.2. Определение. Случайный процесс называется измеримым, если отображение измеримо относительно -алгебры .
Определение. Случайный процесс называется прогрессивно измеримым, если отображение измеримо относительно .
Замечание. Отметим, что всякий прогрессивно измеримый процесс является согласованным. Обратное утверждение неверно. Однако верно следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть - согласованный процесс и Е - польское пространство. Тогда - прогрессивно измерим.
Доказательство. Для рассмотрим диадическое разбиение отрезка , т. е. разбиение на равных интервала, где . Для , положим . Очевидно, что - измеримое отображение из относительно -алгебры . Устремляя получаем, что отображение является измеримым относительно -алгебры при каждом ..
1.3. Определение. Пусть и - два случайных процесса, определенных на . Процесс называется модификацией процесса , если для каждого Р - п. н.
Определение. Два случайных процесса, определенные на , называются неотличимыми, если Р - п. н. для всех .
Замечание. В определении модификации множество нулевой меры Р, на котором отличаются и может зависеть от , в то время как в определении неотличимых процессов существует только одно множество меры нуль, вне которого для всех . Поясним это на примере. Пусть - мера Лебега на , а Тогда ясно, что - модификация , хотя неотличимости нет, так как .
1.4. Теперь приведем без доказательства достаточные условия существования у процесса модификаций принадлежащих пространствам и , соответственно.
Теорема 2. Пусть случайный процесс со значениями в . Если при всех существуют константы такие, что
(1)
то процесс имеет непрерывную модификацию.
Теорема 3. Пусть случайный процесс со значениями в . Если для любого существуют константы такие, что где , то у процесса существует модификация из .
1.5. Определение. Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева) в точке , если для любого ().
Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева), если он стохастически непрерывен справа (слева) в любой точке .
Определение. Если , то будем говорить, что процесс принадлежит классу .
Определение. Процесс непрерывен справа (слева) в среднем порядка в точке t, если . Процесс непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, если он непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, в каждой точке .
Теорема 4. Если процесс - непрерывен справа (слева) в точке t в среднем порядка p, то он стохастически непрерывен справа (слева) в точке t.
Доказательство следует из неравенства Чебышева. Действительно пусть любое , имеем . Переходя к пределу при получаем утверждение теоремы.
1.6. Пример (пуассоновский процесс). Пусть имеется последовательность независимых в совокупности, одинаково распределенных случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром . Пусть . Положим . Очевидно, что Р - п. н. для . Пусть . Очевидно, что . Таким образом определенный процесс называется пуассоновским. Из приведенных выше построений следует, что непрерывен справа.
Найдем распределение вероятностей . Ясно, что , где Очевидно
Поэтому (2)
Обозначим через - экспоненциальное распределение с параметром , а через - n-кратную свертку этих распределений. Очевидно, что , а Поэтому из (2) имеем: .
Вычислим , имеем
.
Теперь вычислим , имеем
Отсюда следует, что дисперсия пуассоновского процесса в момент времени равна . Отметим, что величина - называется интенсивностью пуассоновского процесса.
Вопрос: Является ли пуассоновский процесс непрерывным в среднем порядка 1? Ответ положительный.
Действительно, так как - неубывающий процесс, т.е. Р - п. н. Поэтому Следовательно, процесс непрерывен в среднем порядка 1 для , а в силу теоремы 4 пуассоновский процесс стохастически непрерывен.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1028 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|