АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Разрешимость системы уравнений Колмогорова для процессов с конечным или счетным числом состояний

Прочитайте:
  1. C) нарушение процессов реабсорбции в проксимальных отделахпочечных канальцев
  2. I. Противоположные философские системы
  3. II. Клетки иммунной системы
  4. IV. Анатомия органов сердечно-сосудистой системы
  5. IV. Реакция эндокринной системы на гипогликемию
  6. V. Органы лимфатической системы, иммунной системы
  7. VI. Анатомия центральной нервной системы
  8. VII. Анатомия периферической нервной системы
  9. А) при повышении тонуса симпатической нервной системы
  10. А. Оценка состояния гипоталамо-гипофизарно-надпочечниковой системы

11.1. Теорема 37. Пусть - размера матрица интенсивности перехода такая, что: 1) для и ,

2) для , 3) . Тогда в классе решение уравнения (10) существует и единственно.

Доказательство теоремы 37 опирается на лемму.

Лемма 38 (Гронуолла - Беллмана). Пусть , - измеримая функция, обозначаемые через u (t) и c (s), соответственно, такие, что: а) ; б) . Тогда для справедливо неравенство .

Доказательство. Очевидно неравенство для .

Последнее можно переписать в виде . Отсюда следует, что . Доказательство закончено.

Доказательство теоремы 37. Сначала заметим, что (10) можно переписать в виде

.

Отсюда, в силу формулы Коши (для обыкновенного линейного неоднородного уравнения первого порядка), имеем

. (11)

Заметим, что , поэтому имеем неравенства:

.

Отсюда в силу теоремы Фубини следует, что

.

(Здесь мы учли, что для ).

Таким образом, мы пришли к неравенству

.

В силу леммы Гронуолла - Беллмана, имеем .

Отсюда следует существование решения системы уравнений (10).

Установим теперь единственность решения системы (10). Пусть , l = 1,2, - два решения системы (10). Поэтому в силу (11) для справедливо представление

. (12)

Обозначим . Из (12) следуют неравенства

.

Отсюда, в силу теоремы Фубини, имеем для любого t

.

Поэтому, в силу леммы Гронуолла - Беллмана, имеем . Отсюда следует утверждение теоремы.

11.2. Приведем теперь условия, при выполнении которых решение системы (10) имеет вероятностный смысл.

Теорема 39. Пусть выполняются условия:

а) для и и ;

б) - матрица интенсивности перехода.

Тогда для решение уравнения (10) обладает свойствами:

1) для любых и и ;

2) если для любых и , то для .

Доказательство. 1) Из доказательства теоремы 37 следует, что допускает представление (11). Обозначим

.

Тогда из (11) имеем .

Итерируя это равенство, имеем

.

Отсюда следует, что представляет собой ряд, слагаемые которого неотрицательны (в силу условий теоремы). Поэтому для и . Так как , то и для и .

Покажем теперь, что для . Из уравнения (10) следует, что, в силу теоремы Фубини,

. (13)

Поэтому, в силу того что для и , получаем для . Второе утверждение теоремы следует из (13), так как для . Доказательство закончено.

Замечание. Процесс , матрица интенсивности которого удовлетворяет условию для , , называется консервативным.

11.3. Докажем теперь утверждение обратное к теореме 35.

Теорема 40. Пусть - опциональный процесс с конечным или счетным числом состояний и семейство удовлетворяет системе уравнений (10). Пусть выполнены условия теоремы 37. Тогда для P - п. н. справедливо представление

, (9')

где - ограниченный мартингал.

Доказательство. Покажем сначала, что процесс - ограничен. Действительно,

.

Так как для любых и , то . Докажем теперь, что является мартингалом, т. е.

. Из (9') следует, что P – п. н.

. (9а)

Возьмем условное математическое ожидание относительно левой и правой частей (9а), имеем в силу теоремы Фубини:

.

В силу условий теоремы допускает представление

.

Отсюда следует утверждение теоремы. Доказательство закончено.

 


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 695 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.006 сек.)