Разрешимость системы уравнений Колмогорова для процессов с конечным или счетным числом состояний
11.1. Теорема 37. Пусть - размера матрица интенсивности перехода такая, что: 1) для и ,
2) для , 3) . Тогда в классе решение уравнения (10) существует и единственно.
Доказательство теоремы 37 опирается на лемму.
Лемма 38 (Гронуолла - Беллмана). Пусть , - измеримая функция, обозначаемые через u (t) и c (s), соответственно, такие, что: а) ; б) . Тогда для справедливо неравенство .
Доказательство. Очевидно неравенство для .
Последнее можно переписать в виде . Отсюда следует, что . Доказательство закончено.
Доказательство теоремы 37. Сначала заметим, что (10) можно переписать в виде
.
Отсюда, в силу формулы Коши (для обыкновенного линейного неоднородного уравнения первого порядка), имеем
. (11)
Заметим, что , поэтому имеем неравенства:
.
Отсюда в силу теоремы Фубини следует, что
.
(Здесь мы учли, что для ).
Таким образом, мы пришли к неравенству
.
В силу леммы Гронуолла - Беллмана, имеем .
Отсюда следует существование решения системы уравнений (10).
Установим теперь единственность решения системы (10). Пусть , l = 1,2, - два решения системы (10). Поэтому в силу (11) для справедливо представление
. (12)
Обозначим . Из (12) следуют неравенства
.
Отсюда, в силу теоремы Фубини, имеем для любого t
.
Поэтому, в силу леммы Гронуолла - Беллмана, имеем . Отсюда следует утверждение теоремы.
11.2. Приведем теперь условия, при выполнении которых решение системы (10) имеет вероятностный смысл.
Теорема 39. Пусть выполняются условия:
а) для и и ;
б) - матрица интенсивности перехода.
Тогда для решение уравнения (10) обладает свойствами:
1) для любых и и ;
2) если для любых и , то для .
Доказательство. 1) Из доказательства теоремы 37 следует, что допускает представление (11). Обозначим
.
Тогда из (11) имеем .
Итерируя это равенство, имеем
.
Отсюда следует, что представляет собой ряд, слагаемые которого неотрицательны (в силу условий теоремы). Поэтому для и . Так как , то и для и .
Покажем теперь, что для . Из уравнения (10) следует, что, в силу теоремы Фубини,
. (13)
Поэтому, в силу того что для и , получаем для . Второе утверждение теоремы следует из (13), так как для . Доказательство закончено.
Замечание. Процесс , матрица интенсивности которого удовлетворяет условию для , , называется консервативным.
11.3. Докажем теперь утверждение обратное к теореме 35.
Теорема 40. Пусть - опциональный процесс с конечным или счетным числом состояний и семейство удовлетворяет системе уравнений (10). Пусть выполнены условия теоремы 37. Тогда для P - п. н. справедливо представление
, (9')
где - ограниченный мартингал.
Доказательство. Покажем сначала, что процесс - ограничен. Действительно,
.
Так как для любых и , то . Докажем теперь, что является мартингалом, т. е.
. Из (9') следует, что P – п. н.
. (9а)
Возьмем условное математическое ожидание относительно левой и правой частей (9а), имеем в силу теоремы Фубини:
.
В силу условий теоремы допускает представление
.
Отсюда следует утверждение теоремы. Доказательство закончено.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 769 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|