Локальная абсолютная непрерывность вероятных мер. Теорема Гирсанова
8.1. Пусть на фильтрованном измеримом пространстве заданы две вероятностные меры и Р. Обозначим через и сужение вероятностных мер и Р, соответственно, на .
Обозначим .
Определение. Мера называется локально абсолютно непрерывной относительно меры Р (обозначаем ), если для каждого n.
Определение. Мера называется локально эквивалентной мере Р (обозначаем ), если для каждого n, т.е. и для каждого .
Обозначим через - производную Радона - Никодима, которую мы будем называть локальной плотностью. Отметим, что из не следует .
Теорема 35. Пусть - локальная плотность меры относительно меры Р. Тогда - мартингал относительно меры Р.
Доказательство. Пусть , имеем Отсюда в силу произвольности А получаем, что Р - п. н. для . Доказательство закончено.
Следствие 36. Если - равномерно интегрируемый неотрицательный мартингал, то существует - измеримая неотрицательная случайная величина такая, что и Р - п. н. (Это утверждение вытекает из теоремы 6).
2.8.2. Теорема 37 (Гирсанов). Пусть - локальный мартингал относительно меры Р, а - локальная плотность меры относительно меры Р. Пусть и для любого
Р - п. н. Тогда относительно меры последовательность определяемая соотношением
является локальным мартингалом.
Доказательство. Пусть -измеримая случайная величина. Тогда Р - п. н. справедливо равенство
. (21)
Действительно. Пусть - любая измеримая ограниченная случайная величина. Тогда, с одной стороны, имеем
(22)
С другой стороны
(23)
Из (23) и (22) в силу произвольности получаем (21). Далее, в силу (21), имеем Р - п. н.
Значит является мартингал-разностью относительно меры . Доказательство закончено.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 705 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|