Мартингалы, супермартингалы, субмартингалы
3.1. Пусть (, , , Р) – стохастический базис, последовательность { - согласована с потоком , и принимает значения в .
Определение. Последовательность (, ) t > 1 называется мартингалом, если: 1) , 2)
Если выполнено 1) и Р -п. н., то последовательность (, ) t >0 называется супермартингалом.
Если выполнено 1) и Р - п. н., то последовательность (, ) t >0 называется субмартингалом.
Пример. Пусть , где независимые в совокупности случайные величины. Пусть , . Ясно, что
=
= + + + .
Отсюда следует, что:
а) (, ) t > 1- мартингал, если для любого t;
б) (, ) t > 1- супермартингал, если для любого t;
в) (, ) t > 1- субмартингал, если для любого t;
Утверждение 5. Если (, ) t >0 – марковская случайная последовательность с переходной вероятностью P (s, ,t,B), то P (s, t,B) – мартингал для , относительно потока алгебр и меры Р.
Доказательство. Из соотношения Чепмена – Колмогорова имеем Р -п. н. при :
M (P (u, , t,B)| )= M (P (u, , t,B)| ) = .
3.2. Теорема 6 (Дуба). Пусть (, ) t >0 – неотрицательный супермартингал, тогда с вероятностью 1 существует .
Замечания. 1) Покажем, что предложения о неотрицательности супермартингала (, ) t >0 можно отказаться. Очевидно, что М М , т.е. в среднем последовательность - убывает. Пусть Образуем новую последовательность . Понятно, что .Тогда , значит любой супермартингал представим в виде разности двух неотрицательных супермартингалов.
2) Если - супермартингал, то - субмартингал. Поэтому утверждение теоремы 6 верно и для субмартингалов.
3.2.1 Доказательство теоремы Дуба опирается на две вспомогательные леммы.
Пусть числовая последовательность, a<b, [ a,b ] – отрезок. Обозначим - число пересечений отрезка [ a,b ] последовательностью снизу вверх.
Лемма 7 (О числе пересечений отрезка [ a,b ] снизу вверх).
Справедливо неравенство:
,
где
Доказательство. Обозначим
, ,
, ,
,
Очевидно, что
Отсюда следует, что
(b-a) = .
Докзательство закончено.
Лемма 8. (О среднем числе пересечений). Пусть (, ) t >0 – неотрицательный супермартингал, тогда М .
Доказательство. В силу леммы 7 имеем неравенство:
.
Так как (, ) t >0 - супермартингал, то М () ≤ 0. Отсюда следует неравенство
. Доказательство закончено.
3.2.2. Доказательство теоремы 6. Предположим, что у последовательности не существует конечного предела. Через В обозначим множество не имеет конечного предела}. Наше предположение выполнено, если:
1) Р - п. н.,
2) Р - п. н.
Обозначим: А }, C = }. Очевидно, что , поэтому . Значит для доказательства теоремы достаточно доказать, что Р (А) =0 и Р (С)=0.
Покажем, что Р (А)=0. В силу неравенства Чебышева и леммы Фату имеем Р ( . Устремляя теперь , получаем Р (А)=0.
Теперь докажем, что Р (С)=0. Заметим, что
, где и - рациональные числа}= = .
Рассмотрим вероятность Р ( N) в силу неравенства Чебышева и леммы 8 мы имеем:
Р ( N) .
Устремляя теперь , получаем неравенство Р ( N) . Отсюда следует, что Р (, т.е. Р (С)=0. Доказательство закончено.
3.3. Определение. Мартингал называется равномерно интегрируемым, если .
Теорема 9. Пусть равномерно интегрируемый мартингал, тогда Р -п.н. существует случайная величина такая, что:
а) = Р - п. н.,
б) М | - Р - п. н.
Доказательство этой теоремы следует из теоремы 6.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 863 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|