АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Существование случайных последовательностей

Прочитайте:
  1. Амбивалентность (двойственность) - одновременное возникновение и сосуществование двух взаимно противоположных чувств (например, любовь и ненависть).
  2. Глава 1. Основания теории случайных процессов.
  3. Доверительные границы - границы средних (или относительных) величин, выход за пределы которых вследствие случайных колебаний имеет незначительную вероятность.
  4. Инструменты для защиты тканей от случайных повреждений
  5. Интегрирование случайных процессов по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию.
  6. Существование и единственность сильных решений стохастических уравнений.
  7. Существование самоотверженности и ее эволюционные преимущества

2.1. Чтобы построить случайную последовательность, надо сконструировать вероятностную меру на его траекториях. Существует два подхода к решению этой проблемы:

1) основанный на переходных вероятностях;

2) основанный на непосредственном задании случайного процесса.

2.2. В данном пункте мы построим марковский процесс (с дискретным временем) с помощью переходных вероятностей. Без ограничения общности, можно считать, что = ().

Пусть задано семейство переходных вероятностей { Р (s, t,B)} и справедливо соотношение Чепмена – Колмогорова. Предположим еще, что задана также вероятностная мера на . Тогда существует вероятностное пространство и случайная последовательность (, ) t > 0 на нем такие, что для любых .

Таким образом определенный марковский процесс (, ) t > 0 называют марковским процессом с начальным распределением и семейством переходных вероятностей { Р (s, t,B)}. Это построение обобщает следующая теорема о существовании случайной последовательности.

Теорема 2. (Ионеску-Тулчи). Пусть - произвольные измеримые пространства и , а . Пусть на () задана вероятностная мера Р 1 и для каждого набора на заданы вероятностные меры Р , которые для каждого В являются борелевскими функциями от ), причем для любых

.

Тогда на существуют: 1) единственная вероятностная мера Р такая, что для любого

(3)

 

2) случайная последовательность Х = такая, что

(4)

Доказательство этого утверждения читатель может найти в ряде известных руководств [1,3].

Пример: Пусть ={1,2,…}, Р к (x,y) – семейство неотрицательных функций , x,y , таких, что Пусть распределение вероятностей на ( ). Тогда существуют и семейство случайных величин Х ={ на нем таких, что

P (

В качестве элементов можно взять . Такая последовательность случайных величин Х ={ называется марковской цепью со счетным множеством состояний и матрицей переходных вероятностей { Р к (x,y)}, и начальным распределением

2.3. В данном пункте мы приведем методику непосредственного задания марковской случайной последовательности.

Пусть Ф: измеримая по Борелю функция, обозначаемая через Ф(t,x,y), где и – полные, сепарабельные, метрические пространства. Последовательность { Xt } t > 0 со значениями определим с помощью рекуррентного соотношения

, , (5)

где ( последовательность случайных элементов, принимающая значения в . Соотношение (5) называется процессом, определенным рекуррентно. Положим, что - нормированное пространство с нормой . Возникают два вопроса:

1) является ли Xt для любого t измеримым;

2) | Р - п. н.

Определение. Под сильным решением процесса, определенного рекуррентно, будем понимать последовательность измеримую относительно алгебры такую, что: а) Р ( | )=1; б) она обращает (5) в тождество с вероятностью 1.

Определение. Будем говорить, что (5) имеет единственное сильное решение, если из того что существуют i =1,2 – два сильных решения соотношения (5), причем (т.е. они начинаются из одной точки), то Р ( для любого

Теорема 3. Пусть Ф: , где – линейное нормированное пространство, удовлетворяющее условиям:

1) ||Ф(t,x,y) – Ф(t,z,y)||

2) ||Ф(t,0,y)|| .

Тогда: а) если выполнено 1), то решение (5) единственно; б) если выполнены 1) и 2) и Р - п. н. , то существует сильное решение (5).

Замечание 1. Поясним смысл условий теоремы 3. Очевидны неравенства:

||Ф(t,x,y)|| = ||Ф(t,0,y)+ Ф(t,x,y)- Ф(t, 0, y)|| ||Ф(t, 0, y)|| + ||Ф(t,x,y) - Ф(t, 0, y)|| L + L| | x| | = L (1+|| x || ) (т.е. допустим рост по х не быстрее, чем линейный).

Доказательство. а) Пусть имеются два сильных решения, начинающихся на одной точке , имеем Р - п. н.

Значит, Р - п. н. для .

б) Заметим,

Следовательно, если Р - п. н. – конечно, то Р -п. н.

Замечания. 1) Пусть удовлетворяет (5), и Если (5) имеет единственное сильное решение, то справедливо Р - п. н. для

2) Обозначим Р (s, ,t,B) = P (t, ,B) – переходную вероятность за один шаг. Из соотношения Чепмена-Колмогорова следует, чтобы построить переходную вероятность за t шагов, достаточно знать переходную вероятность за один шаг.

2.4. Установим условия, выполнение которых гарантирует, что процесс, определенный рекуррентно, является марковским.

Теорема 4. Пусть выполняются условия: 1) рекуррентное соотношение (5) имеет единственное сильное решение, 2) последовательность независимых в совокупности случайных величин (со значениями в ), 3) не зависит от . Тогда 1) последовательность - -измерима при каждом t и - марковская, 2) переходная вероятность за один шаг имеет вид

Доказательство. Нам надо доказать, что Р - п. н.

.

Рассмотрим сначала левую часть этого равенства в силу замечания 1.3.1 Р -п.н. = .
Так как - сильное решение (5), то -измеримо, то по теореме Бореля для каждого t существуют функции такие, что Р - п. н. . Поэтому, в силу условий 2), 3) имеем Р - п. н.

= = =

= = .

Отсюда следует, что Доказательство закончено.

2.5. Примеры процессов, определенных рекуррентно.

1) Пусть =0, где -последовательность независимых (в совокупности) величин. В силу теоремы 4 является марковской последовательностью.

2) Дискретная модель диффузии. Рассмотрим рекуррентное соотношение:

, (6)

где - измеримые по Борелю функции, - последовательность независимых в совокупности случайных величин, причем . (6) имеет единственное сильное решение, если выполнены условия:

а)

б)

Пусть , а В этом случае удовлетворяет рекуррентному соотношению

, . (7)

Покажем, что , причем

, ;

Действительно. Обозначим , из рекуррентного соотношения (7) следует

М [ ]= = .

Ясно, что .
Из определения дисперсии имеем . Получили рекуррентное соотношение для . Рассмотрим разность , имеем из (7): = =

Возведем в квадрат левую и правую части последнего равенства, а затем возьмем математическое ожидание от левой и правой частей, имеем из получившегося равенства:

=

Так как , то отсюда следует, что

.

Покажем, что - гауссовская последовательность. Доказательство проведём по индукции. Пусть - гауссовская случайная величина. Очевидно, что тоже гауссовская. Действительно, так как сумма двух гауссовских величин есть гауссовская величина, то гауссовская случайная величина. Таким образом основной шаг индукции установлен, а с ним доказано утверждение.

 


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 598 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.01 сек.)