Мартингальные преобразования. Теорема Дуба - Мейера
5.1. Определение. Последовательность называется предсказуемой, если -измеримо при каждом t.
Соглашение: .
Пусть - мартингал относительно меры Р. Обозначим .
Определение. Последовательность , где -предсказуемая последовательность, а - мартингал. Такое преобразование называется мартингальным.
Предложение 17. Пусть ограниченная предсказуемая последовательность, а , где – мартингал относительно меры P, тогда - мартингал (относительно меры Р).
Доказательство. Действительно, очевидна оценка: ,так как по условию Р - п.н. для ). Отсюда следует, что . (Здесь мы воспользовались тем, что .)
Осталось показать Р - п. н. . Для этого достаточно доказать, что Действительно, для Р - п.н. имеем
. Доказательство закончено.
5.2. Определение. Последовательность называется обобщенным мартингалом, если для каждого определены условные математические ожидания и Р - п. н. .
Теорема 18. Следующие утверждения эквивалентны:
1) Последовательность - локальный мартингал.
2) Последовательность - обобщенный мартингал.
3) Последовательность - мартингальное преобразование, т. е. существуют предсказуемая последовательность с и V0= 0, а также мартингал такие, что Р - п. н. Для
Докажите самостоятельно.
5.3. Для формулировки теоремы Дуба - Мейера нам понадобится следующее определение.
Определение. Последовательность называется возрастающей, если Р - п. н. для всех .
Теорема 19 (Дуба - Мейера). Пусть - субмартингал, относительно меры Р. Тогда существуют возрастающая предсказуемая последовательность и мартингал такие, что Р - п.н. для любого
, (8)
при этом представление (8) Р -п.н. единственно.
Доказательство. Без ограничения общности, можно считать, что и . Образуем две последовательности:
, (9)
. (10)
Складывая (9), (10) получим: . Нам надо убедиться в том, что - предсказуемый возрастающий процесс, а - мартингал (тем самым мы докажем теорему).
Рассмотрим последовательность . По условию - субмартингал, следовательно Р - п. н. , значит - неубывающая последовательность. Докажем, что -измеримо (т. е. предсказуема). Ясно, что -измеримо, поэтому в силу (10) -измеримо. Заметим, что - мартингал тогда и только тогда, когда
. Из определения следует, что Поэтому
P - п. н..
Предположим, что (8) не единственно, т.е. пусть Р - п. н.
. Поэтому Р - п. н. . Отсюда следует Р - п. н.
, (11)
. (12)
Вычтем из (11), (12) имеем Р - п. н.
. (13)
Возьмем относительно левой и правой частой (13), имеем Р - п.н.
Так как -измеримо, а - мартингалы, тогда из последнего равенства следует, что
Р - п.н. для любого t . По построению , поэтому - Р - п. н. для любого t. Следовательно, разложение - единственно. Доказательство закончено.
Замечание. Пусть - супермартингал, тогда -субмартингал, поэтому , значит , где - предсказуемый возрастающий процесс, - мартингал относительно потока и меры Р.
Следствие 20. Пусть - предсказуемый локальный мартингал. Тогда Р - п. н. .(Докажите самостоятельно).
5.4. Пример (применения теоремы Дуба - Мейера).
Теорема 21[16]. Пусть , где - бернуллиевские случайные величины, принимающие значения +1,-1, причем .
Доказательство. Пусть -число нулей последовательности , т.е. Тогда . В силу теоремы Дуба - Мейера имеем . Заметим, что .
В силу марковского свойства последовательности , имеем Р -п.н.
Таким образом , поэтому Р -п.н.
.
Рассмотрим множество . Заметим, что Р -п.н.: а) при
, б) . Поэтому Р -п.н.
Очевидно, что -число попаданий в точку нуль последовательностью за время N. Тогда Р - п. н. Из последнего равенства следует, что . Доказательство закончено.
Замечание. - среднее число нулей последовательности в симметричном случайном блуждании.
Заметим, что при . Значит , следовательно - среднее число нулей в симметричном случайном блуждании.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1204 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|