Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Основные определения

Прочитайте:

1.1. Пусть – измеримое пространство, кроме того, положим, что на выделено семейство алгебр {F _n } _n _> ₀, обладающих свойствами:

а) для любого ;

б) для любых и ;

в)

Определение. Семейство алгебр на , обладающих свойствами а), б), в) будем называть потоком алгебр или фильтрацией. Измеримое пространство (, ) с выделенной фильтрацией будем называть фильтрованным измеримым пространством и обозначать через (, , ).

Определение. Фильтрованным вероятностным пространством или стохастическим базисом называется четверка (, , , Р), где Р – вероятностная мера на фильтрованном измеримом пространстве, причем – пополнена множествами нулевой меры Р.

Замечание. Напомним, – пополнена множествами нулевой меры Р. Пусть любой элемент В , N_p { A F: P (A) = 0} и к В добавим N_p, т.е. . С помощью множеств построим новую алгебру, обозначаемую . Ясно, что содержит - алгебра, её называют пополнением относительно меры Р.

Определение. Будем говорить, что последовательность { со значениями в измеримом пространстве согласована с фильтрацией , если при каждом n она - измерима, т.е. { для любого В E, и для нее будем использовать обозначение (, ) _n _> ₁.

1.2. Пусть на стохастическом базисе (, , , Р) задана согласованная последовательность { . Введем обозначения: а) F = алгебру, порожденную ,
б) F = , в) = эту алгебру называют обычно хвостовой. Очевидно, что - - измерима.

1.3. Определение. Последовательность (, ) _n _> ₀ называется марковской, если Р - п. н. для любого

Р (В| ) = P (B| ), (1)

где .

1.3.1 Замечание. В силу теоремы 11 главы 1 (теоремы Бореля) существуют для борелевские функции , где и такие, что Р - п. н. Р (В| ) = , P (B| ) = . Поэтому (1) можно переписать в виде Р - п. н.

1.4. Определение. Пусть Р: , обозначаемая через P (s, ,t,B), s < t, называемая переходной вероятностью (вероятностью перехода) если:

1) при фиксированных s,t,B P ( - измеримая функция;

2) при фиксированных s,t,x P ( вероятностная мера на .

Определение. Будем говорить, что { Р (s, ,t,B)}- семейство переходных вероятностей марковского процесса (, )_{t > 0,}если Р (s, ,t,B) = P ) Р - п. н. для любых s,t,B.

Теорема 1 (Чепмен-Колмогоров). Пусть (, )_{t > 0} – марковская последовательность, а { Р (s, ,t,B)} – соответствующее ей семейство переходных вероятностей. Тогда для любых справедливо равенство