Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Прочитайте:

где функции

дифференцируемы на отрезке

. Возьмем

и соответствующую ему точку М кривой. Дадим t приращение

такое, что

. Обозначим соответствующую точку через N. Проведем секущую MN. Ее уравнение (см. аналитическую геометрию)

Выведем сначала уравнение касательной к пространственной кривой в заданной точке

. Пусть кривая задана параметрически уравнениями

О у х

z N М

где Х, Y, Z – текущие координаты прямой (секущей). Разделим все знаменатели на :

Ясно, что секущая займет положение касательной, когда точка N совпадет с точкой М при стремлении N к М по кривой. Следовательно уравнение касательной получится тогда, когда перейдем к пределу при , получим

– (21.1)

искомое уравнение касательной.

Замечание. В случае плоской кривой и уравнение касательной прямой, очевидно, имеет вид .

Теперь получим уравнение касательной плоскости к поверхности в

N T M

точке

. Пусть функция

дифференцируема в точке М. Проведем через

точку М линию MS, принадлежащую поверхности

. Пусть ее уравнение в параметрической форме будет

. Если функции х (t), у (t), z (t) дифференцируемы в точке t, которой соответствует точка М, то уравнение касательной MT к кривой MS имеет вид (21.1). Поскольку кривая MS принадлежит поверхности, имеем

. Отсюда

(21.2)

в точке М. Введем в рассмотрение прямую MN:

, (21.3)

где вычислены в точке М. Из (21.1), (21.2) и (21.3) видим, что прямые MT и MN перпендикулярны. Поскольку прямая MN не зависит от выбора кривой MS (зависит только от уравнения поверхности и от точки М), прямая MN перпендикулярна касательной к любой кривой на поверхности, проходящей через точку М. Поэтому все эти касательные лежат в одной плоскости. Эта плоскость и называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке М. Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой (21.3), имеет вид

. (21.4)

Прямая MN, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания, называется нормалью к поверхности в точке М. Уравнение нормали имеет вид (21.3).

Если поверхность задана уравнением , то представляем его в виде . Тогда и уравнение касательной плоскости примет вид