Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Производные основных элементарных функций

Прочитайте:

Теорема 1. Пусть функция , непрерывна, строго монотонна на отрезке и дифференцируема во внутренней точке этого отрезка, причем . Тогда обратная функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство. Заметим, что в условиях теоремы обратная функция существует, непрерывна и строго монотонна на отрезке в силу теоремы из § 19 главы 1.

Придадим значению приращение . Тогда получит приращение

(так как функция строго монотонна). Поэтому можно записать . Поскольку при в силу непрерывности обратной функции и и, по условию, существует , имеем . Отсюда следует существование и равенство . Теорема доказана.

Пример 1. Найдем производные функций arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x /

Решение. По теореме 1 имеем (поскольку , имеем и корень берем со знаком плюс).

Аналогично,

, .

Теорема 2. Если функции и имеют производные в точке , то в точке имеют производные и функции (если ) и справедливы формулы

а) ; б) ; в) .

Доказательство. а) Пусть . Дадим приращение . Тогда функции u, v, y получат приращения , причем

. Отсюда и и равенство а) доказано.

б) Пусть . Аналогично пункту а) имеем

, , , т.е. имеет место формула б).

в) Пусть . Имеем , , , т.е. имеет место формула в).

Теорема доказана.

Следствия. 1) Если , то .

2) Формула а) имеет место для любого конечного числа слагаемых.

3) .

Доказательство. 1) Поскольку , имеем .

2) Например, имеем .

3) Например, имеем .

В общем случае следствия 2) и 3) доказываются методом математической индукции.

Рассмотрим показательно-степенную функцию , где u и v – некоторые функции от х. Найдем производную функции у в точке, в которой дифференцируемы функции u и v. Для этого представим функцию у в виде .По правилу дифференцирования сложной функции, в силу теоремы 2 и примера 1 § 1 имеем

Таким образом,

Заметим, что в полученной формуле первое слагаемое есть результат дифференцирования как показательной функции, а второе – как степенной функции. Примененный прием дифференцирования называется логарифмическим дифференцированием. Им бывает удобно пользоваться и тогда, когда дифференцируемая функция является произведением нескольких сомножителей.

Перейдем теперь к параметрическому заданию функций. Если зависимость функции у от аргумента х устанавливается не непосредственно, а с помощью некоторой третьей переменной t, называемой параметром, формулами

, (3.1)

то говорят, что функция у от х задана параметрически.

Если х и у рассматривать как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (3.1) ставят в соответствие каждому значению точку на плоскости. С изменением t точка опишет некоторую кривую на плоскости. Уравнения (3.1) называются параметрическими уравнениями этой кривой. Например, уравнения

(3.2)

являются параметрическими уравнениями эллипса с полуосями а и b.

Если в (3.1) уравнение разрешается относительно t, , то параметрическое задание функции можно свести к явному:

Найдем производную функции, заданной параметрически. Для этого предположим, что функции и дифференцируемы, причем на некотором промежутке, а для функции существует обратная функция , имеющая конечную производную . Тогда по правилу дифференцирования сложной и обратной функций находим: . Таким образом,

. (3.3)

Например, производная функции, определяемой уравнениями (3.2) имеет вид

Уравнение касательной к кривой, заданной параметрически, в точке , соответствующей значению параметра , получается из уравнения (1.4), если вместо подставить :