Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Гильом Франсуа де Лопиталь (1661-1704) – французский математик.
При вычислении пределов, как известно, приходится раскрывать неопределенности разных видов. В этом параграфе мы познакомимся с правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей вида и .
Теорема 1. Пусть функции и непрерывны в точке , дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки и . Пусть, кроме того, для всех . Тогда, если существует , то существует и , причем
= . (7.1)
Доказательство. Рассмотрим интервал − правую половину окрестности . Пусть . Заметим, что на отрезке к функциям и можно применить теорему Коши ( и непрерывны на , дифференцируемы в в ). По теореме Коши существует точка такая, что или, так как , . Если , то, очевидно, и . По условию теоремы существует, поэтому существует и и эти пределы равны, т.е. = . Заменив во втором пределе с на х, получим = .
Заметим, что мы рассмотрели случай , т.е. в последних пределах справа.
Аналогично рассматривается интервал . Тем самым равенство (7.1) и теорема доказаны.
В теореме 1 − конечная точка. Рассмотрим теперь случай = .
Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на луче , причем , и пусть . Тогда, если существует , то существует и , причем
= . (7.2)
Доказательство. Положим , , . Тогда функции и непрерывны в точке справа. Кроме того, , , т.е. функции и дифференцируемы в интервале , причем . Поэтому =│теорема 1│= . Теорема доказана.
Для случая неопределенности вида справедлива
Теорема 3. Пусть функции и дифференцируемы на луче , причем , и пусть . Тогда, если существует , то существует и , причем
= .
Без доказательства.
Замечания. 1) Теоремы 1, 2, 3 справедливы во всех случаях, когда , а конечен или бесконечен.
2) Теоремы 1, 2, 3 называют правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей.
3) Если при вычислении предела по правилу Лопиталя снова получается неопределенность вила или , то можно еще раз применить правило Лопиталя и т.д.
4) Применение правила Лопиталя целесообразно комбинировать с известными из главы I способами раскрытия неопределенностей. В этом случае результат получается быстрее.
5) Неопределенности вида можно преобразовать к виду или и затем применить правило Лопиталя.
Примеры.
1) Для имеем
функция – бесконечно большая более высокого порядка при , чем при любом натуральном значении n.
Поскольку при , то и это утверждение остается справедливым для , где – любое число.
2) Для и – бесконечно большая более высокого порядка при , чем любая логарифмическая функция .
Таким образом, показательная функция растет быстрее, а логарифмическая функция медленнее, чем степенная.
3) .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 716 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|