Уравнения касательной и нормали к кривой
Рассмотрим сначала две задачи, приводящие к понятию производной.
1. Задача о вычислении скорости движущейся точки.
Пусть по прямой движется точка, уравнение движения которой выражает зависимость величины пути, пройденной точкой, от времени. Требуется определить скорость движения точки в момент времени .
расстояние, пройденное точкой за время , ОМ – расстояние, пройденное за время t, – расстояние, пройденное за время , то есть за промежуток времени . Ясно, что . Средняя скорость точки на участке пути равна . Ясно, что при уменьшении средняя скорость будет приближаться к скорости точки в момент , поэтому скоростью точки в момент времени называется предел отношения при :
.
Таким образом,
. (1.1)
2. Задача о проведении касательной к кривой.
Пусть дана некоторая кривая L. Дадим сначала определение касательной к кривой L в точке М. Для этого возьмем на кривой точку N и проведем секущую MN. Затем,
у оставляя точку М неподвижной, будем двигать
N точку N по кривой к точке М. Секущая MN при
этом будет поворачиваться вокруг точки М. Если
L она при стремится к некоторому
предельному положению МР, то это предельное
Р положение секущей и называется касательной к
кривой в точке М.
М Определение 1. Прямая МР называется касательной к кривой L в точке М, если угол
О х между нею и секущей стремится к нулю при
неограниченном приближении по кривой точки N к точке М.
Найдем уравнение касательной к кривой в точке . Ясно, что для
этого достаточно найти ее угловой коэффициент , поскольку точка М, через которую проходит касательная, дана. Уравнение, как известно из аналитической геометрии, имеет вид
. (1.2)
к нулю. Таким образом,
. (1.3)
Сравним формулы (1.1) и (1.3). Видим, что в этих формулах мы делаем одно и то же: вычисляем приращение функции, соответствующее приращению аргумента или , составляем их отношение и переходим к пределу при или , только функции в этих формулах имеют разный смысл – величина пути и ордината точки. Выделяя общее в рассмотренных задачах, абстрагируясь от их конкретного содержания, приходим к понятию производной.
Определение 2. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Обозначается производная и т.д.
Таким образом,
.
Возвращаясь к задачам, видим, что , то есть скорость V есть производная от пройденного пути S по времени t; , то есть угловой коэффициент касательной к кривой есть производная от ординаты по абсциссе х. Из этих фактов вытекает механический и геометрический смысл производной.
Механический смысл производной: производная – это скорость изменения переменной относительно переменной х.
Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке , то есть тангенс угла между
касательной и положительным направлением оси Ох.
Пример 1. Найдем производные функций , , .
Решение. Воспользуемся определение производной. Получим
, так как ~ ~ при . В частности, ;
= , так как ~ при ;
, так как ~ при ;
, так как ~ при ;
;
.
Из формулы (1.2) получаем уравнение касательной к кривой в точке :
или . (1.4)
Определение 3. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой в этой точке.
Из аналитической геометрии известно, что ее угловой коэффициент , поэтому уравнение нормали имеет вид
. (1.5)
Пример 2. Напишем уравнения касательной и нормали к кривой в точке (1; е).
Решение. Поскольку , по формулам (1.4) и (1.5) находим
– уравнение касательной к данной кривой в данной точке, – уравнение нормали к данной кривой в данной точке.
Может оказаться так, что предел в определении производной не существует. В этом случае говорят, что функция производной в точке не имеет. Однако может оказаться так, что односторонние пределы существуют, но не равны. В этом случае говорят об односторонней производной функции в точке справа или слева. К односторонней производной мы приходим и тогда, когда точка является концом промежутка. Обозначают односторонние производные и .
В случае, когда производная функции не существует, но существуют односторонние производные, говорят также об односторонних касательных к кривой в соответствующей точке кривой. Если же производная бесконечна, то касательная к кривой в соответствующей точке параллельна оси Оу.
Определение 4. Операция отыскания производной называется дифференцированием. Раздел математического анализа, главным предметом которого является вычисление производных, изучение и использование их свойств, называется дифференциальным исчислением.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1526 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|