АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Уравнения касательной и нормали к кривой

Прочитайте:
  1. А. вид лихорадочной кривой,
  2. Асимптоты кривой
  3. В чем заключается разница между яремной флебограммой и кривой давления в правом предсердии?
  4. Все это и нормализует АД.
  5. Выпуклые кривые. Точки перегиба кривой
  6. Г) быстрая нормализация АД
  7. Глава 6 Стохастические интегралы. Стохастические уравнения.
  8. Диффузионные процессы и стохастические уравнения.
  9. Для восстановления высоты прикуса, нормализации положения нижней челюсти
  10. Доказательство. Отметим, что если выполнены условия i),ii), то выполнены условия теоремы 30 главы 3. Поэтому разрешимость этого уравнения следует из теоремы 30 главы 3.

 

Рассмотрим сначала две задачи, приводящие к понятию производной.

1. Задача о вычислении скорости движущейся точки.

Пусть по прямой движется точка, уравнение движения которой выражает зависимость величины пути, пройденной точкой, от времени. Требуется определить скорость движения точки в момент времени .

расстояние, пройденное точкой за время , ОМ – расстояние, пройденное за время t, – расстояние, пройденное за время , то есть за промежуток времени . Ясно, что . Средняя скорость точки на участке пути равна . Ясно, что при уменьшении средняя скорость будет приближаться к скорости точки в момент , поэтому скоростью точки в момент времени называется предел отношения при :

.

Таким образом,

. (1.1)

2. Задача о проведении касательной к кривой.

Пусть дана некоторая кривая L. Дадим сначала определение касательной к кривой L в точке М. Для этого возьмем на кривой точку N и проведем секущую MN. Затем,

у оставляя точку М неподвижной, будем двигать

N точку N по кривой к точке М. Секущая MN при

этом будет поворачиваться вокруг точки М. Если

L она при стремится к некоторому

предельному положению МР, то это предельное

Р положение секущей и называется касательной к

кривой в точке М.

М Определение 1. Прямая МР называется касательной к кривой L в точке М, если угол

О х между нею и секущей стремится к нулю при

неограниченном приближении по кривой точки N к точке М.

Найдем уравнение касательной к кривой в точке . Ясно, что для

этого достаточно найти ее угловой коэффициент , поскольку точка М, через которую проходит касательная, дана. Уравнение, как известно из аналитической геометрии, имеет вид

. (1.2)

к нулю. Таким образом,

. (1.3)

Сравним формулы (1.1) и (1.3). Видим, что в этих формулах мы делаем одно и то же: вычисляем приращение функции, соответствующее приращению аргумента или , составляем их отношение и переходим к пределу при или , только функции в этих формулах имеют разный смысл – величина пути и ордината точки. Выделяя общее в рассмотренных задачах, абстрагируясь от их конкретного содержания, приходим к понятию производной.

Определение 2. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Обозначается производная и т.д.

Таким образом,

.

Возвращаясь к задачам, видим, что , то есть скорость V есть производная от пройденного пути S по времени t; , то есть угловой коэффициент касательной к кривой есть производная от ординаты по абсциссе х. Из этих фактов вытекает механический и геометрический смысл производной.

Механический смысл производной: производная – это скорость изменения переменной относительно переменной х.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке , то есть тангенс угла между

касательной и положительным направлением оси Ох.

Пример 1. Найдем производные функций , , .

Решение. Воспользуемся определение производной. Получим

, так как ~ ~ при . В частности, ;

= , так как ~ при ;

, так как ~ при ;

, так как ~ при ;

;

.

Из формулы (1.2) получаем уравнение касательной к кривой в точке :

или . (1.4)

Определение 3. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой в этой точке.

Из аналитической геометрии известно, что ее угловой коэффициент , поэтому уравнение нормали имеет вид

. (1.5)

Пример 2. Напишем уравнения касательной и нормали к кривой в точке (1; е).

Решение. Поскольку , по формулам (1.4) и (1.5) находим

– уравнение касательной к данной кривой в данной точке, – уравнение нормали к данной кривой в данной точке.

Может оказаться так, что предел в определении производной не существует. В этом случае говорят, что функция производной в точке не имеет. Однако может оказаться так, что односторонние пределы существуют, но не равны. В этом случае говорят об односторонней производной функции в точке справа или слева. К односторонней производной мы приходим и тогда, когда точка является концом промежутка. Обозначают односторонние производные и .

В случае, когда производная функции не существует, но существуют односторонние производные, говорят также об односторонних касательных к кривой в соответствующей точке кривой. Если же производная бесконечна, то касательная к кривой в соответствующей точке параллельна оси Оу.

Определение 4. Операция отыскания производной называется дифференцированием. Раздел математического анализа, главным предметом которого является вычисление производных, изучение и использование их свойств, называется дифференциальным исчислением.


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1519 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.005 сек.)