Асимптоты кривой
Понятие асимптоты кривой вводится для кривых, ветви которых уходят в бесконечность. Это может быть в случаях, когда функция не ограничена или когда она задана на неограниченном промежутке.
Определение. Прямая линия называется асимптотой кривой , если расстояние от точки М, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении точки М вдоль какой-нибудь части кривой в бесконечность.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
1) Вертикальные асимптоты.
Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . Расстояние МА от точки до прямой равно . тогда, когда или . Чтобы прямая была асимптотой кривой , нужно, по определению, чтобы при или при функция стремилась к или .
| | у
А М
х
О
Таким образом, чтобы найти вертикальные асимптоты, нужно исследовать поведение функции вблизи точек разрыва и границ области определения.
Пример 1. Найдем вертикальные асимптоты кривой .
Решение. Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки . Исследуем поведение функции при и : , . Отсюда следует, что прямая (ось Оу) – вертикальная асимптота. Кривая приближается к ней и слева, и справа.
2) Горизонтальные асимптоты.
Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид . Расстояние МВ от точки до прямой равно . Чтобы это расстояние стремилось к нулю при или , нужно, чтобы или .
| | у
В у = А
М
О х
Таким образом, горизонтальные асимптоты могут быть только у кривых, заданных на неограниченном промежутке. Для их отыскания нужно найти пределы функции на бесконечности.
Пример 2.Найдем горизонтальные асимптоты кривой . Построим эту кривую.
Решение. Имеем , поэтому прямая (ось Ох) является горизонтальной асимптотой кривой и при , и при .
Так как , то функция убывает на интервалах и . Поскольку , то при и при , откуда следует, что – интервал выпуклости вверх кривой, а – интервал выпуклости вниз. Учитывая, что – вертикальная асимптота (см. пример 1), строим график.
у
О х
3) Наклонные асимптоты.
Наклонная асимптота имеет уравнение , где . Чтобы найти постоянные k и b, вычислим расстояние от точки до прямой . Это расстояние равно MN, где отрезок MN перпендикулярен прямой. Пусть МК – перпендикуляр к оси Ох. Тогда ,
| | у
К
N M
О х
, где . Угол , поэтому при или . Таким образом, условие
(*)
является необходимым и достаточным для того, чтобы прямая была асимптотой кривой . Найдем постоянные k и b. Из условия (*) следует, что
или ,
откуда
. (11.1)
Из условия (*) следует также, что .
Таким образом, чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, нужно найти коэффициент k по формуле (11.1), подставить его в формулу
(11.2)
и найти коэффициент b. Если пределы в (11.1) и (11.2) существуют и конечны, причем , то существует и наклонная асимптота, ее уравнение .
Пример 3. Найдем наклонные асимптоты кривой .
Решение. Имеем , то есть и при , и при ; . Таким образом, – наклонная асимптота данной кривой и при , и при .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1064 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|