Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Определение 1. Точка называется точкоймаксимума (минимума) функции , если существует окрестность , такая, что для всех . Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Заметим, что точкой экстремума функции может быть только внутренняя точка промежутка, в котором функция определена, поскольку указанные в определении неравенства должны выполняться в некоторой окрестности точки .
| | | | | | | | – точки максимума, – точки минимума функции .
| | |
О х
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Для того чтобы дифференцируемая функция имела в точке экстремум, необходимо выполнение условия .
Доказательство. Пусть – точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда найдется окрестность точки , в которой будет наибольшим или наименьшим значением функции . Поэтому по теореме Ферма . Теорема доказана.
Определение 2. Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками функции.
Из доказанной теоремы следует, что точками экстремума функции могут быть только стационарные точки и точки, в которых производная не существует. Такие точки называют подозрительными на экстремум или критическими точками функции.
Заметим, что не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для функции критической является стационарная точка , так как существует для всех х, . Но точка не является точкой экстремума этой функции, так как функция всюду возрастает.
Таким образом, нам надо найти условия, при которых критическая точка является точкой экстремума – достаточные условия экстремума. Есть два типа таких условий. Одни используют производную 1-го порядка, другие – производную 2-го порядка.
Рассмотрим достаточное условие экстремума, опирающиеся на 1-ю производную функции.
Предположим, что функция непрерывна в окрестности критической точки и в проколотой окрестности существует конечная производная , сохраняющая определенный знак как слева, так и справа от точки . Тогда возможны следующие три случая:
1) при и при , то есть при переходе через точку меняет знак с плюса на минус. В этом случае, в силу теоремы 3 § 8, функция возрастает в промежутке и убывает в промежутке , поэтому значение является наибольшим в окрестности , то есть – точка максимума функции .
2) при и при , то есть при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс. Рассуждая как в 1-ом случае, приходим к выводу, что – точка минимума функции .
3) При переходе через точку не меняет знака. Тогда функция либо все время возрастает, либо все время убывает, так что в точке экстремума нет.
Таким образом, достаточное условие экстремума состоит в следующем:
если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум. При перемене знака с плюса на минус в точке функция имеет максимум, с минуса на плюс – минимум. Если же при переходе через точку производная знака не меняет, то в этой точке экстремума нет.
Сформулируем правило исследования функции на экстремум. Нужно:
1) найти область определения функции;
2) найти производную;
3) найти критические точки функции из области определения, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует;
4) определить знак производной слева и справа от каждой из критических точек;
5) на основании достаточного условия экстремума сделать выводы относительно каждой из критических точек.
Пример 1. Найдем экстремумы функции .
Решение. Область определения , существует во всех точках области определения, , , , – +
0
т.е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому – точка минимума функции, – минимум функции.
Достаточное условие экстремума функции, опирающееся на 2-ю производную, формулируется следующим образом.
Теорема 2. Пусть и в точке существует 2-я производная. Тогда, если , то – точка минимума функции, а если , то – точка максимума функции.
Доказательство. Пусть . Так как есть производная функции , то по теореме 4 § 8 функция в точке возрастает, т.е. вблизи точки слева , а справа , т.е. при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс. Поэтому по первому достаточному условию экстремума функции точка − точка минимума функции.
Если , то функция в точке убывает, меняя знак с плюса на минус, поэтому точка − точка максимума функции. Теорема доказана.
Замечание. Доказанная теорема позволяет исследовать функции на экстремум только в стационарных точках, т.е. в точках, в которых первая производная равна нулю. Вопрос остается открытым и в том случае, когда вторая производная равна нулю. В этом случае нужно либо изучать поведение высших производных, либо пользоваться правилом, опирающимся на первую производную.
Пример 2. Найдем экстремумы функции .
Решение. Область определения функции , существует всюду в , – точка максимума, ; – точки минимума, .
Остановимся теперь на задаче о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда по 2-ой теореме Вейерштрасса она принимает на и свое наибольшее, и свое наименьшее значения. Однако в теореме Вейерштрасса ничего не говорится о том, как искать эти значения. Ясно, что эти значения могут достигаться как во внутренних точка отрезка, так и на его концах. Если наименьшее (наибольшее) значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то эта точка обязательно будет точкой минимума (максимума) функции. А точки экстремума функции обязательно находятся в критических точках. Поэтому достаточно сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках, не исследуя эти точки на экстремум.
Таким образом, правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке состоит в следующем. Нужно:
1) найти производную данной функции;
2) найти критические точки, принадлежащие данному отрезку;
3) вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка;
4) из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Имеем . Из найденных стационарных точек функции только . Других критических точек нет, так как производная определена всюду. Находим , , . Видим, что , .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 695 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|