Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Показательная функция

Прочитайте:

Определение 1. Функция вида называется показательной функцией.

Согласно §13 . Поскольку при а = 1 имеем , т.е. функция постоянная, будем предполагать в дальнейшем, что .

Теорема 1. Если , то функция строго возрастает, если , то строго убывает.

Доказательство. Пусть – произвольные действительные числа, , – рациональные числа. Пусть . В силу усиленной плотности множества R найдем рациональные числа . Начиная с некоторого (лемма 2) и , аналогично , поэтому , т.е. строго возрастает.

Если , то , поэтому , т.е. строго убывает. Теорема доказана.

Следствие. Показательная функция не имеет точек экстремума.

Теорема 2. Функция , , всюду непрерывна.

Доказательство. Пусть – произвольная точка, – произвольная

последовательность точек. Между числами и , и возьмем рациональные числа и , n = 1, 2, … соответственно (это можно сделать в силу усиленной плотности множества R). Тогда и . Поэтому по формуле (13.4) . Поскольку по теореме 1 при , а при , то по теореме о промежуточной переменной . В силу произвольности последовательности , сходящейся к , функция непрерывна в точке по Гейне. Теорема доказана.

Следствие. Кривая вертикальных асимптот не имеет.

Теорема 3. Если , то

1) ; 2) ; 3) .

Доказательство. Поскольку , можно записать , где . Тогда по неравенству Бернулли . Какое бы ни взять, найдется такое, что при выполняется неравенство (достаточно взять ). Поскольку – возрастающая функция, то при имеем , а это и означает, что , то есть 1) доказано.

Докажем 2). Имеем .

3) следует из 2) и строгого возрастания функции при . Теорема доказана.

Следствия. 1) Если , то , , .

Для доказательства достаточно рассмотреть . Тогда , .

2) Из 2) следует, что – горизонтальная асимптота при для и при для . Наклонных асимптот нет, так как при , при и . Аналогичные рассуждения проводятся и для .