АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Тригонометрические функции

Прочитайте:
  1. F07 Расстройства личности и поведения вследствие болезни, повреждения и дисфункции головного мозга
  2. II Структура и функции почек.
  3. II этап. Регуляция менструальной функциии и профилактика рецидивов
  4. II. Функции
  5. III. Улучшение функции бронхиального дерева
  6. III. Функции
  7. А. Классификация, структура и функции
  8. А. Оценка функции щитовидной железы
  9. Адгезивные молекулы (молекулы суперсемейства иммуноглобулинов, интегрины, селектины, муцины, кадхерины): строение, функции, примеры. CD-номенклатура мембранных молекул клеток.
  10. Анатомия и физиология головного мозга. Роль структур ствола мозга в регуляции двигательной функции человека

 

При определении синуса и косинуса произвольного угла в радиан пользуются окружностью, причем наиболее наглядно свойства их видны, если окружность имеет единичный радиус.

у Определение 1. Ордината точки , полученной при

повороте точки (1; 0) вокруг начала координат на

угол радиан, называется синусом числа

sin
, а

s абсцисса этой точки – косинусом . Обозначаются

соответственно sin и cos .

О cos 1 x
Сопоставляя каждому числу х его синус и косинус,

J получим две функции sin х и cos х, определенные на

всей числовой прямой.

Непосредственно из определения следует, что

областью значений этих функций является отрезок ; обе функции – периодические с основным

периодом ; cos х – функция четная (так как

 

cos (– ) = cos ), sin х – функция нечетная (так как sin (– ) = – sin ), поэтому их графики симметричны относительно оси Оу и начала координат соответственно.

sin х > 0 в I и II четвертях, sin х < 0 в III и IV четвертях, sin х = 0 , то есть – точки пересечения графика sin х с осью Ох, (0; 0) – с осью Оу.

cos х > 0 в I и IV четвертях, cos х < 0 во II и III четвертях, cos х = 0 ,

, т.е. – точка пересечения графика cos х с осью Ох, (0; 1) – с осью Оу.

Функция возрастает от – 1 до 1 на отрезках , убывает от 1 до – 1 на отрезках , поэтому –точки максимума, , – точки минимума, .

Функция возрастает от – 1 до 1 на отрезках , убывает от 1 до – 1 на отрезках , поэтому – точки максимума, , – точки минимума, .

Установим непрерывность функций cos х и sin х в каждой точке , пользуясь известным неравенством

.

Теорема 1. Функции cos х и sin х непрерывны в каждой точке числовой прямой.

Доказательство. Пусть – произвольная точка числовой прямой. Докажем, что функция cos х непрерывна в этой точке. Имеем

Поскольку , по теореме о промежуточной переменной и , то есть функция cos х непрерывна в точке и в силу произвольности точки функция cos х непрерывна в каждой точке числовой прямой.

По формуле приведения , поэтому по теореме о непрерывности сложной функции функция sin х непрерывна в каждой точке числовой прямой, так как функции cos t и непрерывны всюду. Теорема доказана.

Из теоремы 1 и того, что , следует, что вертикальных асимптот нет (это следует и из ограниченности функций). Поскольку и не существуют, нет и горизонтальных асимптот. Наклонных асимптот тоже нет, так как .

Рассмотрим функцию . Имеем .

– + – + – · · · · · · – 2π – π 0 π 2π 3π

Видим, что (π n; 0) – точки перегиба, – интервалы выпуклости вверх, – интервалы выпуклости вниз.

Графиком функции является синусоида.

у

 

           
     

 


–2 π – π О π 2 π х

 

Из равенства видим, что графиком функции является сдвинутая влево на синусоида.

у

 

           
   
     
 
 

 


х

– – – О

 

Определение 2. Тангенсом числа называется отношение синуса этого числа к его косинусу: .

Котангенсом числа называется отношение косинуса этого числа к его синусу: .

Свойства функций и вытекают из свойств функций и .

Рассмотрим функцию .

. Нечетная. Периодическая с основным периодом . Это следует из равенств 0 . Аналогично, .

в I и III четвертях, во II и IV четвертях.

– вертикальная асимптота, в силу периодичности, – вертикальные асимптоты. В силу периодичности , горизонтальных и наклонных асимптот нет. Непрерывность в следует из теоремы о непрерывности частного непрерывных функций.

(π n; 0) – точки пересечения с осью Ох, (0; 0) – точка пересечения с осью Оу.

в , поэтому функция возрастает в интервалах , точек экстремума нет.

.

 

– + – + ◦ • ◦ • ◦ 0 π

(π n; 0) – точки перегиба, – интервалы выпуклости вверх, – интервалы выпуклости вниз.

Аналогично исследуется функция .

у у

 

х х

О О π

 

 

Обратные тригонометрические функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x были рассмотрены в главе I. Их свойства устанавливаются с помощью свойств функций sin x, co s x, tg x, ctg x и теоремы о существовании и непрерывности обратной функции.

 

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 576 | Нарушение авторских прав


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.011 сек.)