Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Определение и свойства степени

Прочитайте:

Определение 1. Степенью числа а с натуральным показателем называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:

. (13.1)

Степенью числа а с показателем 1 называется само число а:

. (13.2)

Заметим, что в определении 1 а – любое действительное число. Равенствами (13.1) и (13.2) степень определена на множестве N натуральных чисел.

Справедливы два основных свойства степени:

т.е. при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Далее степень определяется на множестве всех целых чисел.

Определение 2. Если , то N.

Проверка двух основных свойств степени проводится без труда. Например,

Чтобы определить степень на множестве рациональных чисел, сначала определим арифметический корень n -ой степени.

Определение 3. Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n -я степень которого равна а. Обозначается .

Докажем, что такое число существует и единственно. Для этого рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна и возрастает на , так как , причем . Кроме того, . Поэтому по теореме существования и непрерывности обратной функции на промежутке существует, возрастает и непрерывна обратная функция . Отсюда следует, что уравнение имеет единственный неотрицательный корень .

Определение 4. Если , то .

Этим равенством степень определена на множестве Q рациональных чисел. Основные свойства степени справедливы и на этом множестве. Например, справедливость равенства следует из того, что при взведении обеих частей этого равенства в степень nq получаем: , , т.е. одинаковые выражения.

Определим далее степень на множестве R всех действительных чисел. Для этого установим сначала несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Для любого иррационального числа существует возрастающая последовательность рациональных чисел , сходящаяся к .

Доказательство. Рассмотрим последовательность чисел . В силу свойства усиленной плотности множества R действительных чисел между числами и найдется рациональное число , то есть . Очевидно, что последовательность возрастающая и сходится к

• • • • • • • • •

по теореме о промежуточной переменной, так как . Лемма доказана.

Лемма 2. Если , то функция возрастает.

Доказательство. Заметим, что если , то и , где n – натуральное число. Это следует из возрастания функции (см. доказательство существования арифметического корня). Поэтому для имеем . Поскольку знаменатели рациональных чисел всегда можно сделать общими, утверждение доказано.

Лемма 3. Если , то .

Доказательство. Поскольку (см. доказательство леммы 2), положим , где . Тогда по неравенству Бернулли, или . Отсюда и по теореме о промежуточной переменной , то есть . Лемма доказана.

Лемма 4. Для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к нулю, последовательность (где ) сходится к 1, т.е. .

Доказательство. Возьмем произвольно. Поскольку по лемме 3 , , то найдется номер такой, что и , откуда . А так как при , то найдется номер , такой, что для будет , то есть и по лемме 2 , откуда и для . Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть и – произвольное иррациональное число. Тогда для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к , последовательность сходится к одному и тому же пределу.

Доказательство. Если , то , то есть утверждение справедливо.

Пусть . Рассмотрим сначала какую-нибудь неубывающую последовательность рациональных чисел , сходящуюся к . Такая последовательность существует по лемме 1. Тогда по лемме 2

(13.3)

Возьмем рациональное число . Тогда и по лемме 2 для всех n, т.е. последовательность (13.3) ограничена сверху. По теореме о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности существует , который мы обозначим буквой А. При этом , так как и последовательность (13.3) неубывающая.

Пусть теперь – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к . Тогда последовательность рациональных чисел сходится к нулю и по лемме 4 . Следовательно, и утверждение леммы справедливо.

Рассмотрим теперь случай . Положим . Тогда и по уже доказанному для любой последовательности рациональных чисел , , существует один и тот же предел . Отсюда .

Лемма доказана.

Определение 5. Пусть – произвольное иррациональное число, – любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к , . Тогда полагают

. (13.4)

Заметим, что формула (13.4) справедлива и в случае, когда – рациональное число. Тогда и . Таким образом, формула (13.4) имеет место для любого действительного числа .

Теорема 1. Справедливы равенства

, (13.5)

, (13.6)

где , а х, у – любые действительные числа.

Доказательство. Пусть , где и – последовательности рациональных чисел. Поскольку для рациональных х и у равенство (13.5) справедливо, имеем и в пределе при .