АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Для вывода уравнения гиперболы введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы гиперболы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило бы расстояние между фокусами пополам. Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе координат.

Обозначим фокусы гиперболы через F ₁ и F ₂ (рис. 41). Пусть М – произвольная точка гиперболы. Расстояние | F ₁ F ₂| между фокусами обозначим через 2 с, а модуль разности расстояний от точки М до фокусов – через 2 а. Так как по определению || F ₁ M | – | F ₂ M || < | F ₁ F ₂|, то 2 а < 2 с или а < с. Числа | F ₁ M | и | F ₂ M | называются фокальными радиусами точки М и обозначаются через r ₁ и r ₂. Из определения следует, что точка М (х; у) лежит на данной гиперболе тогда и только тогда, когда | r ₁ – r ₂|= 2 a. Отсюда

r ₁ – r ₂ = ±2 a. (9)

По аналогии с эллипсом, чтобы получить искомое уравнение гиперболы, нужно в равенстве (9) заменить переменные r ₁ и r ₂ их выражениями через координаты х и у. Так как фокусы F ₁ и F ₂ расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (– с; 0) и (с; 0). По формуле расстояния между двумя точками находим

, . (10)

Подставив эти выражения в равенство (9), получим

– = ±2 a. (11)

Это и есть искомое уравнение гиперболы. Упростим его аналогично тому, как это было сделано для уравнения (3) в случае эллипса. Перенесем второй радикал в правую часть уравнения (11), а затем возведем обе части полученного равенства в квадрат. Имеем

(x + c)² + y ² = 4 a ² ± + (x – c)² + y ²

или

cx – a ² = ± a . (12)

Снова возведем обе части равенства в квадрат:

a ⁴ – 2 a ² cx + c ² x ² = a ² x ² – 2 a ² cx + a ² c ² + a ² y ².

Отсюда

(c ² – a ²) x ² – a ² y ² = a ²(c ² – a ²). (13)

Рассмотрим теперь новую величину

, (14)

геометрический смысл которой будет раскрыт далее. Так как с > а, то разность c ² – a ² > 0 и b – положительное число. Из равенства (14) имеем b ² = c ² – a ². Поэтому уравнение (13) примет вид

b ² x ² – a ² y ² = a ² b ²

или

. (15)

Это и есть каноническое уравнение гиперболы.

Как и для эллипса, можно доказать равносильность уравнений (15) и (11).

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению. Так как уравнение (15) содержит члены только с четными степенями текущих координат х и у, то по аналогии с эллипсом достаточно рассмотреть лишь часть гиперболы, лежащую в I координатном угле. Разрешим уравнение (15) относительно у, считая у 0:

. (16)

Из равенства (16) вытекают следующие утверждения:

1) если 0 x < a, то у принимает мнимые значения, т. е. точек гиперболы с абсциссами 0 x < a не существует;

2) если х = а, то у = 0, т. е. точка А (а; 0) принадлежит гиперболе;

3) если х > а, то у > 0. При возрастании х значение у также возрастает и у → +∞ при х → +∞. Переменная точка М (х; у) на гиперболе перемещается с ростом х «вправо» и «вверх», причем ее начальное положение – точка А (а; 0) (рис. 42). Здесь необходимо уточнить, как именно точка М «уходит в бесконечность». Для этого, кроме уравнения (16), рассмотрим уравнение

, (17)

которое определяет прямую с угловым коэффициентом k = b / a, проходящую через начало координат. Часть этой прямой, расположенная в I координатном угле, изображена на рис. 42. Для ее построения можно использовать прямоугольный треугольник ОАВ,где | OA | = a и | AB | = b.

Покажем, что точка М, перемещаясь по гиперболе в бесконечность, неограниченно приближается к прямой (17), которая является асимптотой гиперболы. Возьмем произвольное значение х (x a) и рассмотрим две точки М (х; у) и N (х; Y), где и . Точка М лежит на ги перболе, точка N – на прямой (17). Так как обе точки имеют одну и ту же абсциссу х, то прямая, проходящая через точки М и N, перпендикулярна оси Оx (рис. 43). Найдем длину отрезка МN.

Прежде всего заметим, что если x > a, то

> .

Это означает, что при одной и той же абсциссе точка гиперболы лежит под соответствующей точкой асимптоты. Таким образом,

MN = Y – y =

.

Из полученного выражения следует, что при х → +∞ дробь стремится к нулю, так как знаменатель растет, а числитель – постоянная величина ab. Следовательно, | MN| = Y – y стремится к нулю при х → +∞.

Обозначим через Р основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую (17), МР – расстояние от точки М до этой прямой. Очевидно, | MP | < | MN |, а так как | MN | → 0, то и подавно | MP | → 0 при х → +∞, т.е. точка М неограниченно приближается к прямой (17), а это нам и требовалось доказать. Аналогичное рассуждение можно провести для любого координатного угла.

Итак, ветвь рассматриваемой гиперболы, лежащая в I координатном угле, проходит через точку А (а; 0) и направлена «направо» и «вверх», асимптотически приближаясь к прямой (см. рис. 42).

Теперь можно легко установить вид всей гиперболы в силу ее симметрии относительно координатных осей (рис. 44). Гипербола состоит из двух ветвей (правой и левой) и имеет две асимптоты: и , первая из которых уже рассмотрена, а вторая представляет собой ее симметрическое отражение относительно оси Оx (или оси Oy).

Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) – центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются ее вершинами (на рис. 44 они обозначены буквами А ′ и А). Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник ВВ ′ C ′ C со сторонами 2 а и 2 b (рис. 44) называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Уравнение

, (15)

переставляя буквы х и у, а и b, можно привести к виду (15). Отсюда ясно, что уравнение (18) определяет гиперболу, расположенную так, как показано на рис. 44 штриховыми линиями; вершины ее лежат на оси Oy. Эта гипербола называется сопряженной по отношению к гиперболе (15). Обе гиперболы имеют одни и те же асимптоты.

Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид

x ² – y ² = a ². (19)

Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу.

Определение. Эксцентриситетом гиперболы является отношение с / а, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой ε. Так как с > а, то ε > 1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше единицы. Учитывая, что c ² = a ² + b ², найдем

откуда

.

Из последнего равенства легко получить геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b / а, что означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Для равносторонней гиперболы (а = b) получаем .

Пример. Дано уравнение гиперболы 3 x ² – 4 y ² = 12. Найти ее действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнение ее асимптот.

Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

или

откуда находим, что действительная полуось а = 2, а мнимая полуось b = . Так как асимптоты гиперболы имеют уравнения , фокусы – координаты (– с; 0) и (с; 0), эксцентриситет ε = c / a, а , то для данной гиперболы получаем: координаты фокусов и ; эксцентриситет и уравнения асимптот .

В следующем пункте рассмотрим важное свойство эллипса и гиперболы.

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1504 | Нарушение авторских прав