АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

На плоскости и в пространстве

В курсе линейной алгебры было дано понятие линейной зависимости векторов для произвольного n -мерного векторного пространства. Напомним его.

Определение 8. Система векторов а ₁, а ₂, …, а_k является линейно зависимой, если найдется нетривиальная линейная комбинация векторов

α₁ а ₁ + α₂ а ₂ + … + α _k а_k

равная нулевому вектору.

Мы дали запись векторов без стрелочек и, не выделяя жирным шрифтом, подчеркнув тем самым, что это вектора произвольного n -мерного векторного пространства. Нетривиальная линейная комбинация векторов – это алгебраическая сумма векторов α₁ а ₁ + α₂ а ₂ + … + α _k а_k c некоторыми коэффициентами α₁, α₂, …,α _k, где хотя бы один отличен от нуля. Кроме этого определения было дано еще одно эквивалентное определение линейной зависимости векторов.

Определение 9. Система векторов а ₁, а ₂, …, а_k называется линейно зависимой, если один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.

Рассматривая вектора на прямой, плоскости и в пространстве с учетом введенных операций сложения и умножения на число, можно составлять суммы векторов, умноженных на некоторые коэффициенты

α₁ а ₁ + α₂ а ₂ + … + α _k а _k.

Такие суммы будем называть линейными комбинациями.

Линейные комбинации векторов обладают следующими очевидными свойствами: если векторы а ₁, а ₂, …, а _k коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна; если векторы а ₁, а ₂, …, а _k компланарны, то любая их линейная комбинация с ними компланарна. Это следует из того, что вектор α а коллинеарен вектору а, а сумма векторов лежит в той же плоскости, что и слагаемые.

Пусть на прямой дан единичный вектор, т. е. вектор, который принят за единицу измерения длин, а его направление объявлено положительным на всей этой прямой. Можно сказать, что наша прямая превращена в ось.

Определение 10. Отношение длин любого вектора а на данной оси к длине единичного вектора, взятое со знаком «+», если вектора направлены в одну сторону, и со знаком «–», если вектора противоположно направлены, называется координатой вектора а на данной оси. (Также используются синонимы: компонента, алгебраическое значение вектора.)

Пусть дан вектор , тогда его координату на оси обозначим (AB). Из определения вытекают следующие свойства:

1. Два вектора на данной прямой равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

2. Если два вектора имеют одну и ту же длину, но противоположны по направлению, то их координаты имеют один и тот же модуль, но противоположны по знаку: (АВ) + (ВА) = 0.

3. Координата единичного вектора равна 1.

4. При любом расположении точек А, В и С на оси имеет место числовое равенство (АВ) + (ВС) = (АС).

При рассмотрении n -мерных векторных пространств, было введено понятие базиса. Мы определяли базис как максимальную линейно независимую систему векторов. Максимальность понимается в том смысле, что если к системе добавить любой вектор, она станет линейно зависимой.

Кроме того, в курсе алгебры доказывалось утверждение, что если система векторов линейно независима и любой вектор векторного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов системы, то данная система векторов является базисом.

Как видно из определения координатной оси, на прямой базисом является любой ненулевой вектор.

Определение 11. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Определение 12. Если е ₁, е ₂, е ₃ – базис в пространстве и а разложен по базису с коэффициентами α₁, α₂, α₃

а = α₁ е ₁ + α₂ е ₂ + α₃ е ₃,

то числа α₁, α₂, α₃ называются координатами вектора а в данном базисе в пространстве.

Аналогично, если е ₁, е ₂ – базис на плоскости и вектор а разложен по этому базису

а = α₁ е ₁ + α₂ е ₂ ,

то числа α₁, α₂ называются координатами вектора а в базисе е ₁, е ₂ на плоскости.

Лемма 1. Координаты вектора на прямой, плоскости и в пространстве определяются однозначно.

Доказательство. Докажем единственность разложения по базису для пространства.

Пусть а = а ₁ е ₁ + а ₂ е ₂ + а ₃ е ₃ и а = а′ ₁ е ₁ + а′ ₂ е ₂ + а′ ₃ е ₃. Вычтем второе равенство из первого:

а – а = (а ₁ е ₁ + а ₂ е ₂ + а ₃ е ₃) – (а′ ₁ е ₁ + а′ ₂ е ₂ + а′ ₃ е ₃) =

= (а ₁ – а′ ₁) е ₁ + (а ₂ – а′ ₂) е ₂ + (а ₃ – а′ ₃) е ₃ = 0.

Мы получили линейную комбинацию базисных векторов е ₁, е ₂, е ₃ равную нулю. Учитывая линейную независимость базисных векторов, получаем, что все коэффициенты линейной комбинации должны быть равны нулю, т.е. а ₁ = а′ ₁, а ₂ = а′ ₂, а ₃ = а′ ₃.

Доказательство леммы для случая прямой и плоскости аналогично.

Лемма доказана.

Следствие. Равные векторы имеют одинаковый набор координат.

Заметим, что при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Действительно, пусть а = а ₁ е ₁ + а ₂ е ₂ + а ₃ е ₃, тогда

λ а = λ(а ₁ е ₁ + а ₂ е ₂ + а ₃ е ₃) = (λ а ₁) е ₁ + (λ а ₂) е ₂ + (λ а ₃) е ₃.

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. Действительно, если а = а ₁ е ₁ + а ₂ е ₂ + а ₃ е ₃ и b = b ₁ е ₁ + b ₂ е ₂ + b ₃ е ₃, то

a + b = (а ₁ е ₁ + а ₂ е ₂ + а ₃ е ₃) + (b ₁ е ₁ + b ₂ е ₂ + b ₃ е ₃) =

= (а ₁ + b ₁) е ₁ + (а ₂ + b ₂) е ₂ + (а ₃ + b ₃) е ₃.

Понятие линейной зависимости векторов, играющее большую роль в алгебре, в курсе аналитической геометрии наполняется новым смыслом. Приведем для иллюстрации несколько утверждений.

1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны.

2. Любые три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора компланарны.

3. Каждые четыре вектора линейно зависимы.

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 705 | Нарушение авторских прав