АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология
|
Смешанное произведение
Рассмотрим операцию, соединяющую скалярное и векторное произведения.
Пусть даны три вектора а, b, c. Умножим b и с векторно. Полученный вектор [ b, c ] умножим скалярно на вектор а. В результате получим число (a, [ b, c ]).
Определение 21. Число (a, [ b, c ]) называется смешанным произведением векторов а, b, c и обозначается (a, b, c).
Свойства смешанного произведения:
1. Смешанное произведение некомпланарных векторов а, b, c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях.
Действительно, по определению скалярного произведения
(a, b, c) = (a, [ b, c ]) = | a | ∙ |[ b, c ]| ∙ cosφ,
где φ – угол между векторами а и [ b, c ]. Учитывая, что | a | ∙ cosφ равно высоте параллелепипеда h, а модуль векторного произведения |[ b, c ]| равен площади параллелограмма, построенного на векторах b и с, получаем
(a, b, c) = S осн ∙ h = V паралл.
2. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов а, b, c правая, и отрицательно, если она левая.
Действительно, знак смешанного произведения совпадает со знаком cosφ, и поэтому смешанное произведение положительно, когда а направлен в ту же сторону от плоскости векторов b и с, что и вектор [ b, c ], т. е. тройка векторов а, b, c правая. Если cosφ < 0, то вектор а направлен в противоположную сторону от плоскости векторов b и c по отношению к вектору [ b, c ] и, значит, тройка векторов а, b, c левая.
3. Если е 1, е 2, е 3 ортонормированный базис, то (е 1, е 2, е 3) = 1, если базис правый, и (е 1, е 2, е 3) = –1, если базис левый.
4. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны.
Учитывая (a, b, c) = | a | ∙ |[ b, c ]| ∙ cos φ, получаем, что смешанное произведение равно нулю в одном из следующих трех случаев:
а) а = 0, тогда а, b, c компланарны;
б) |[ b, c ]| = 0, тогда b и с коллинеарны, а, значит, а, b, c компланарны;
в) cosφ = 0, тогда вектор а лежит в плоскости векторов b и с, т. е. векторы а, b, c компланарны.
Если векторы а, b, c компланарны, то либо, по крайней мере, один из них нулевой и тогда ситуация рассмотрена в пунктах а) и б), либо все три вектора лежат в одной плоскости и выполняется пункт в).
Таким образом, равенство нулю смешанного произведения дает критерий компланарности векторов сомножителей.
5. Для любых векторов а, b, c верны равенства
(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a) = – (b, a, c) = – (c, b, a) = – (a, c, b).
При перестановке сомножителей в смешанном произведении, самое большее, может измениться только ориентация тройки этих векторов. Поэтому, может измениться только знак смешанного произведения.
6. Для любых векторов а 1, а 2, b, c и чисел α, β верно равенство
(α а 1 + β а 2, b, c) = α (a 1, b, c) + β (a 2, b, c).
Это свойство следует из свойств скалярного произведения. С учетом предыдущего свойства получаем для векторов а, b 1, b 2, c и чисел α, β
(а, α b 1+ β b 2, c) = α (a, b 1, c) + β (a, b 2, c)
и для векторов а, b, с 1, c 2 и чисел α, β
(а, b, α c 1 + β с 2) = α (a, b, c 1) + β (a, b, c 2).
Таким образом, смешанное произведение линейно по любому своему сомножителю.
Найдем выражение смешанного произведения через координаты сомножителей. Пусть a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, с = с 1 i + с 2 j + с 3 k, где i, j, k – ортонормированный базис. Векторы i, j, k образуют правую тройку векторов. Тогда координаты векторного произведения [ b, c ] находятся по следующей формуле:
.
Умножим этот вектор на вектор а по формуле скалярного произведения:
(a, [ b, c ]) = .
Поученное выражение можно рассматривать как разложение определителя третьего порядка по первой строке, в которой стоят координаты вектора а, алгебраическими дополнениями служат координаты векторного произведения. Следовательно, можно считать, что выражение смешанного произведения через координаты сомножителей имеет вид:
.
Данная формула верна только в том случае, когда координаты векторов a, b, c заданы в ортонормированном базисе.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 798 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|