АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Смешанное произведение

Рассмотрим операцию, соединяющую скалярное и векторное произведения.

Пусть даны три вектора а, b, c. Умножим b и с векторно. Полученный вектор [ b, c ] умножим скалярно на вектор а. В результате получим число (a, [ b, c ]).

Определение 21. Число (a, [ b, c ]) называется смешанным произведением векторов а, b, c и обозначается (a, b, c).

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение некомпланарных векторов а, b, c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях.

Действительно, по определению скалярного произведения

(a, b, c) = (a, [ b, c ]) = | a | ∙ |[ b, c ]| ∙ cosφ,

где φ – угол между векторами а и [ b, c ]. Учитывая, что | a | ∙ cosφ равно высоте параллелепипеда h, а модуль векторного произведения |[ b, c ]| равен площади параллелограмма, построенного на векторах b и с, получаем

(a, b, c) = S _осн ∙ h = V _паралл.

2. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов а, b, c правая, и отрицательно, если она левая.

Действительно, знак смешанного произведения совпадает со знаком cosφ, и поэтому смешанное произведение положительно, когда а направлен в ту же сторону от плоскости векторов b и с, что и вектор [ b, c ], т. е. тройка векторов а, b, c правая. Если cosφ < 0, то вектор а направлен в противоположную сторону от плоскости векторов b и c по отношению к вектору [ b, c ] и, значит, тройка векторов а, b, c левая.

3. Если е ₁, е ₂, е ₃ ортонормированный базис, то (е ₁, е ₂, е ₃) = 1, если базис правый, и (е ₁, е ₂, е ₃) = –1, если базис левый.

4. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны.

Учитывая (a, b, c) = | a | ∙ |[ b, c ]| ∙ cos φ, получаем, что смешанное произведение равно нулю в одном из следующих трех случаев:

а) а = 0, тогда а, b, c компланарны;

б) |[ b, c ]| = 0, тогда b и с коллинеарны, а, значит, а, b, c компланарны;

в) cosφ = 0, тогда вектор а лежит в плоскости векторов b и с, т. е. векторы а, b, c компланарны.

Если векторы а, b, c компланарны, то либо, по крайней мере, один из них нулевой и тогда ситуация рассмотрена в пунктах а) и б), либо все три вектора лежат в одной плоскости и выполняется пункт в).

Таким образом, равенство нулю смешанного произведения дает критерий компланарности векторов сомножителей.

5. Для любых векторов а, b, c верны равенства

(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a) = – (b, a, c) = – (c, b, a) = – (a, c, b).

При перестановке сомножителей в смешанном произведении, самое большее, может измениться только ориентация тройки этих векторов. Поэтому, может измениться только знак смешанного произведения.

6. Для любых векторов а ₁, а ₂, b, c и чисел α, β верно равенство

(α а ₁ + β а ₂, b, c) = α (a ₁, b, c) + β (a ₂, b, c).

Это свойство следует из свойств скалярного произведения. С учетом предыдущего свойства получаем для векторов а, b ₁, b ₂, c и чисел α, β

(а, α b ₁+ β b ₂, c) = α (a, b ₁, c) + β (a, b ₂, c)

и для векторов а, b, с ₁, c ₂ и чисел α, β

(а, b, α c ₁ + β с ₂) = α (a, b, c ₁) + β (a, b, c ₂).

Таким образом, смешанное произведение линейно по любому своему сомножителю.

Найдем выражение смешанного произведения через координаты сомножителей. Пусть a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k, b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k, с = с ₁ i + с ₂ j + с ₃ k, где i, j, k – ортонормированный базис. Векторы i, j, k образуют правую тройку векторов. Тогда координаты векторного произведения [ b, c ] находятся по следующей формуле:

.

Умножим этот вектор на вектор а по формуле скалярного произведения:

(a, [ b, c ]) = .

Поученное выражение можно рассматривать как разложение определителя третьего порядка по первой строке, в которой стоят координаты вектора а, алгебраическими дополнениями служат координаты векторного произведения. Следовательно, можно считать, что выражение смешанного произведения через координаты сомножителей имеет вид:

.

Данная формула верна только в том случае, когда координаты векторов a, b, c заданы в ортонормированном базисе.

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 802 | Нарушение авторских прав