АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Векторное произведение

В предыдущем параграфе мы рассмотрели скалярное произведение векторов, когда двум векторам ставится в соответствие число. Теперь определим операцию, которая двум векторам ставит в соответствие вектор. Предварительно введем определение ориентированной тройки векторов.

Определение 19. Упорядоченная тройка векторов a, b, c называется правоориентированной (или правой), если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левоориентированной (или левой) (рис. 11).

Термин «упорядоченная тройка» означает, что про каждый вектор можно сказать первый он, второй или третий.

При перемене местами любых двух векторов в упорядоченной тройке, тройка меняет ориентацию. Например, если a, b, c правая тройка, то тройка b, a, c – левая.

Определение 20. Векторным произведением данных векторов а и b называется вектор с, удовлетворяющий следующим условиям:

1. | с | = | a | ∙ | b | ∙ sinφ,

где φ – угол между векторами а и b, т. е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и b (рис. 12);

2. с a, c b, т. е. с перпендикулярен плоскости векторов а и b;

3. a, b, c – правая тройка векторов.

Для векторного произведения обычно используют два обозначения:

или с = [ a, b ].

Свойства векторного произведения:

1. Векторное произведение антикоммутативно:

[ a, b ] = – [ b, a ].

При перемене местами сомножителей векторное произведение меняет знак. Действительно, меняя местами сомножители, мы должны менять направление вектора с, чтобы тройка векторов a, b, c оставалась правой.

2. Константу можно выносить за знак векторного произведения:

[λ a, b ] = λ[ a, b ].

Можно показать возможность вынесения константы из второго сомножителя:

[ a, λ b ] = – [λ b, a ] = – λ[ b, a ] = λ[ a, b ].

3. Для любых векторов a, b, c и любых чисел α и β имеет место равенство

[α a + β b, c ] = α[ a, c ] + β[ b, c ].

Аналогично, [ a, μ b + λ c ] = μ[ a, b ] + λ[ a, c ].

4. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны.

Действительно, векторное произведение равно нулю

|[ a, b ]| = | a | ∙ | b | ∙ sinφ = 0

в следующих трех случаях:

1) а = 0, тогда а и b коллинеарны;

2) b = 0, тогда а и b коллинеарны;

3) sinφ = 0, т. е. а || b, тогда а и b коллинеарны; в частности [ a, a ] = 0.

Найдем выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Пусть i, j, k – ортонормированный базис, т. е.

(i, j) = (i, k) = (j, k) = 0 и | i | = | j | = | k | = 1.

Векторы i, j, k образуют правую тройку. Найдем векторные произведения базисных векторов. Вектор [ i, j ] перпендикулярен векторам i и j и имеет единичную длину, т. к.

|[ i, j ]| = | i | ∙ | j | ∙ sin 90º = 1.

Кроме того, тройка векторов i, j, [ i, j ] является правой (рис.13). Учитывая, что кратчайший поворот от i к j виден с конца вектора k против часовой стрелки и , | k | = 1, получаем

[ i, j ] = k.

Аналогично, можно получить равенства:

[ j, i ] = – k, [ j, k ] = i, [ k, j ] = – i, [ k, i ] = j, [ i, k ] = – j.

Пусть a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k и b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k, найдем векторное произведение, используя его свойства:

[ a, b ] = [ a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k, b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k ] =

= a ₁ b ₁[ i, i ] + a ₁ b ₂[ i, j ] + a ₁ b ₃[ i, k ] +

+ a ₂ b ₁[ j, i ] + a ₂ b ₂[ j, j ] + a ₂ b ₃[ j, k ] +

+ a ₃ b ₁[ k, i ] + a ₃ b ₂[ k, j ] + a ₃ b ₃[ k, k ].

Учитывая, что [ i, i ] = [ j, j ] = [ k, k ] = 0, получаем

[ a, b ] = a ₁ b ₂[ i, j ] + a ₁ b ₃[ i, k ] + a ₂ b ₁[ j, i ] + a ₂ b ₃[ j, k ] + a ₃ b ₁[ k, i ] + a ₃ b ₂[ k, j ].

Подставим найденные выше векторные произведения базисных векторов:

[ a, b ] = a ₁ b ₂ k – a ₁ b ₃ j – a ₂ b ₁ k + a ₂ b ₃ i + a ₃ b ₁ j – a ₃ b ₂ i.

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

[ a, b ] = (a ₂ b ₃– a ₃ b ₂) i – (a ₁ b ₃– a ₃ b ₁) j + (a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁) k.

Учитывая, что разность вида ad – bc можно представить в виде определителя второго порядка

,

запишем векторное произведение через определители:

.

Правую часть равенства можно рассматривать, как разложение определителя матрицы 3×3 по первой строке, элементами которой являются базисные векторы i, j, k, а соответствующие определители алгебраическими дополнениями. Получаем равенство:

.

Эта формула представляет собой выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 774 | Нарушение авторских прав