АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Скалярное произведение

Прочитайте:
  1. Векторное произведение
  2. Воспроизведение
  3. Воспроизведение генетического материала
  4. Воспроизведение рождения плечевого пояса и головки
  5. Глава 7. Создание среды, в которой любовь сможет вас найти: внутреннее воспроизведение образа.
  6. Произведение
  7. Самовоспроизведение.
  8. Смешанное произведение

Понятие скалярного произведения вводилось в школьном курсе геометрии. Напомним его и рассмотрим свойства этого произведения.

Определение 17. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число (a, b) равное произведению модулей векторов а и b на косинус угла между ними, т.е.

(a, b) = | a | ∙ | b | ∙ cos φ,

где φ – угол между векторами а и b.

Определение 18. Если угол между векторами прямой, то векторы называются ортогональными.

Скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор считается равным нулю.

Свойства скалярного произведения:

1. (a, b) = (b, a) (коммутативность);

2. (a, b) = 0 тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

а) а = 0;

б) b = 0;

в) cos φ = 0, т. е. а и b ортогональны;

3. (a, а) = | а |2, т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора. Действительно, в этом случае φ = 0 и cos φ = 0, тогда

(a, а) = | a | ∙ | а | ∙ cos φ = | а |2;

4. (a, а) = 0 тогда и только тогда, когда а – нулевой вектор;

5. векторы ортонормированного базиса удовлетворяют соотношениям:

(е 1, е 1) = (е 2, е 2) = (е 3, е 3) = 1,

(е 1, е 2) = (е 1, е 3) = (е 2, е 3) = 0;

6. если λ – число, то (λ a, b) = λ(a, b), т.е. числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения;

7. (a + b, с) = (a, с) + (b, c) (дистрибутивность);

8. координаты любого вектора в прямоугольной системе координат равны скалярным произведениям этого вектора на базисные вектора.

Докажем последнее свойство. Пусть вектор а имеет в некотором базисе е 1, е 2, е 3 разложение

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + а 3 е 3.

Рассмотрим скалярное произведение вектора на базисный вектор, используя при этом свойство дистрибутивности:

(а, е 1) = (а 1 е 1 + а 2 е 2 + а 3 е 3, е1) =

= (а 1 е 1, е 1) + (а 2 е 2, е 1) + (а 3 е 3, е 1) = а 1(е 1, е 1) + а 2(е 2, е 1) + а 3(е 3, е 1).

Если базис ортогонален, то

(е 1, е 2) = (е 3, е 1) = 0, (е 1, е 1) = | е 1|2.

Получаем, что скалярное произведение вектора на базисный вектор равно

(а, е 1) = а 1 | е 1|2,

.

Аналогично, другие координаты вектора:

, .

Если базис е 1, е 2, е 3 не только ортогонален, но еще и нормирован, т.е. | е 1| = | е 2| = | е 3| = 1, то

а 1 = (а, е 1), а 2 = (а, е 2), а 3 = (а, е 3).

Таким образом, свойство 8 доказано.

Найдем выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

Пусть в некотором базисе е 1, е 2, е 3 векторы а и b имеют следующие координаты

а (а 1, а 2, а 3), b (b 1, b 2, b 3).

Найдем их скалярное произведение (a, b), для чего воспользуемся свойствами 6 и 7.

(a, b) = (а 1 е 1 + а 2 е 2 + а 3 е 3, b 1 е 1 + b 2 е 2 + b 3 е 3) =

= а 1 b 1(е 1, е 1) + а 1 b 2(е 1, е 2) + а 1 b 3(е 1, е 3) +

+ а 2 b 1(е 2, е 1) + а 2 b 2(е 2, е 2) + а 2 b 3(е 2, е 3) +

+ а 3 b 1(е 3, е 1) + а 3 b 2(е 3, е 2) + а 3 b 3(е 3, е 3).

Если базис е 1, е 2, е 3 произвольный, то данная формула является окончательной. Если базис е 1, е 2, е 3 ортогонален, т. е.

(е 1, е 2) = (е 1, е 3) = (е 2, е 3) = 0,

то формула примет вид:

(a, b) = а 1 b 1 (е 1, е 1) + а 2 b 2 (е 2, е 2) + а 3 b 3 (е 3, е 3) =

= а 1 b 1 | е 1|2 + а 2 b 2 | е 2|2 + а 3 b 3 | е 3|2.

Если кроме ортогональности векторов потребуем, чтобы их длины равнялись единице, т. е. базис е 1, е 2, е 3 являлся бы ортонормированным, то формула будет иметь вид:

(a, b) = а 1 b 1 + а 2 b 2 + а 3 b 3 .

Это формула выражения скалярного произведения через координаты сомножителей в ортонормированном базисе.

Учитывая, что

(a, b) = | a | ∙ | b | ∙ cos φ,

, ,

получим формулу для нахождения угла между векторами

.

Таким образом, скалярное произведение применяется, когда нужно найти угол между векторами, определить являются ли данные векторы ортогональными.

 

 


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 665 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.006 сек.)