Скалярное произведение
Понятие скалярного произведения вводилось в школьном курсе геометрии. Напомним его и рассмотрим свойства этого произведения.
Определение 17. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число (a, b) равное произведению модулей векторов а и b на косинус угла между ними, т.е.
(a, b) = | a | ∙ | b | ∙ cos φ,
где φ – угол между векторами а и b.
Определение 18. Если угол между векторами прямой, то векторы называются ортогональными.
Скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор считается равным нулю.
Свойства скалярного произведения:
1. (a, b) = (b, a) (коммутативность);
2. (a, b) = 0 тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
а) а = 0;
б) b = 0;
в) cos φ = 0, т. е. а и b ортогональны;
3. (a, а) = | а |2, т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора. Действительно, в этом случае φ = 0 и cos φ = 0, тогда
(a, а) = | a | ∙ | а | ∙ cos φ = | а |2;
4. (a, а) = 0 тогда и только тогда, когда а – нулевой вектор;
5. векторы ортонормированного базиса удовлетворяют соотношениям:
(е 1, е 1) = (е 2, е 2) = (е 3, е 3) = 1,
(е 1, е 2) = (е 1, е 3) = (е 2, е 3) = 0;
6. если λ – число, то (λ a, b) = λ(a, b), т.е. числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения;
7. (a + b, с) = (a, с) + (b, c) (дистрибутивность);
8. координаты любого вектора в прямоугольной системе координат равны скалярным произведениям этого вектора на базисные вектора.
Докажем последнее свойство. Пусть вектор а имеет в некотором базисе е 1, е 2, е 3 разложение
а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + а 3 е 3.
Рассмотрим скалярное произведение вектора на базисный вектор, используя при этом свойство дистрибутивности:
(а, е 1) = (а 1 е 1 + а 2 е 2 + а 3 е 3, е1) =
= (а 1 е 1, е 1) + (а 2 е 2, е 1) + (а 3 е 3, е 1) = а 1(е 1, е 1) + а 2(е 2, е 1) + а 3(е 3, е 1).
Если базис ортогонален, то
(е 1, е 2) = (е 3, е 1) = 0, (е 1, е 1) = | е 1|2.
Получаем, что скалярное произведение вектора на базисный вектор равно
(а, е 1) = а 1 | е 1|2,
.
Аналогично, другие координаты вектора:
, .
Если базис е 1, е 2, е 3 не только ортогонален, но еще и нормирован, т.е. | е 1| = | е 2| = | е 3| = 1, то
а 1 = (а, е 1), а 2 = (а, е 2), а 3 = (а, е 3).
Таким образом, свойство 8 доказано.
Найдем выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
Пусть в некотором базисе е 1, е 2, е 3 векторы а и b имеют следующие координаты
а (а 1, а 2, а 3), b (b 1, b 2, b 3).
Найдем их скалярное произведение (a, b), для чего воспользуемся свойствами 6 и 7.
(a, b) = (а 1 е 1 + а 2 е 2 + а 3 е 3, b 1 е 1 + b 2 е 2 + b 3 е 3) =
= а 1 b 1(е 1, е 1) + а 1 b 2(е 1, е 2) + а 1 b 3(е 1, е 3) +
+ а 2 b 1(е 2, е 1) + а 2 b 2(е 2, е 2) + а 2 b 3(е 2, е 3) +
+ а 3 b 1(е 3, е 1) + а 3 b 2(е 3, е 2) + а 3 b 3(е 3, е 3).
Если базис е 1, е 2, е 3 произвольный, то данная формула является окончательной. Если базис е 1, е 2, е 3 ортогонален, т. е.
(е 1, е 2) = (е 1, е 3) = (е 2, е 3) = 0,
то формула примет вид:
(a, b) = а 1 b 1 (е 1, е 1) + а 2 b 2 (е 2, е 2) + а 3 b 3 (е 3, е 3) =
= а 1 b 1 | е 1|2 + а 2 b 2 | е 2|2 + а 3 b 3 | е 3|2.
Если кроме ортогональности векторов потребуем, чтобы их длины равнялись единице, т. е. базис е 1, е 2, е 3 являлся бы ортонормированным, то формула будет иметь вид:
(a, b) = а 1 b 1 + а 2 b 2 + а 3 b 3 .
Это формула выражения скалярного произведения через координаты сомножителей в ортонормированном базисе.
Учитывая, что
(a, b) = | a | ∙ | b | ∙ cos φ,
, ,
получим формулу для нахождения угла между векторами
.
Таким образом, скалярное произведение применяется, когда нужно найти угол между векторами, определить являются ли данные векторы ортогональными.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 665 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|