Расчет тепловых режимов анодов
Как известно при попадании электронов на мишень, практически вся потребляемая трубкой электрическая мощность преобразуется в тепло, выделяемое на аноде рентгеновской трубки. Поэтому при конструировании рентгеновских трубок необходимо рассчитывать их тепловые режимы. С точки зрения нагрева наиболее критическими являются центр фокусного пятна и центр спая мишени с массивным анодом. Ниже описаны приближенные методы оценки критических температур для массивного и прострельного анода.
В случае массивного анода математическая модель для расчета нагрева может быть представлена на рис. 4.4. Если мы имеем цилиндрический анод радиуса R, и высотой h с массивной мишенью толщиной d, то данную задачу удобнее решать в цилиндрических координатах.
Допустим, что мишень бомбардируется осесимметричным электронным пучком с радиусом r. Распределение плотности тока в пучке и, следовательно, распределение теплового потока в фокусном пятне на поверхности мишени будем считать равномерным.
Как показывает опыт, основание анода является практически изотермическим и будем считать, что с помощью системы охлаждения температура основания Тс1 поддерживается постоянной. Поскольку боковая поверхность массивного анода обычно находится в вакууме, то теплоотводом через нее можно пренебречь.
Для того, чтобы определить тепловой режим работы анода необходимо дифференциальное уравнение с граничными условиями первого и второго рода. Формулы, полученные для расчета температур в результате решения этого уравнения, будут иметь весьма громоздкий вид. Однако для определения мощности, которую можно подвести к аноду, достаточно знать температуру лишь в характерной точке – в центре фокусного пятна.
R
r
d
h0
h
Рис.4.4. Схема цилиндрического медного анода с вольфрамовой мишенью
Эту температуру можно рассчитать по следующей формуле:
, (4.3)
где P –подводимая к аноду мощность, R – радиус анода, fф – функция, полученная в результате суммирования рядов и зависящая от геометрии анода, радиуса фокусного пятна и коэффициента теплопроводности анода. Тс – температура в сечении H0 = 2R, определяется по формуле:
, (4.4)
где Тс1 – температура основания анода, l – теплопроводность анода, H – высота анода.
Таким образом, определив температуру Тс по этой формуле дальнейший расчет следует вести по формуле (1), с применением графика функции fф, приведенного на рис. 4.5.
Из формул (4.3) и (4.4) можно, зная максимально допустимую температуру центра фокусного пятна, вывести максимальную мощность, которую можно приложить к цилиндрическому аноду:
(4.5)
Рис.4.5. График вспомогательных функций fф и fH1.
. (4.6)
Для расчета используются следующие величины:
l1 - 1.2 Вт/смЧград
l2 - 3.7 Вт/смЧград
Для вольфрама предельно допустимая температура (Тф) – 2000 0С,
Для меди предельно допустимая температура (Тм) – 800 0С.
Используя указанные величины необходимо определить как температуру центра фокусного пятна, так и максимально допустимую мощность. необходимо определить предельно допустимую мощность трубки (температуры Тф и Тм не должны быть выше предельно допустимых).
Знание предельно допустимой мощности трубки позволяет определить требуемые режимы охлаждения анода.
Для решения этой задачи необходимо к необходимо знать формулы расчета теплопроводности. Количество тепла, проходящего через плоскую и цилиндрическую стенки в единицу времени, определяется выражениями:
[ккал/ч] (4.7)
и
[ккал/ч] (4.8)
где l - коэффициент теплопроводности материала стенок, ккал/м×ч×град; Dt – разность температур поверхностей стенки, °С; b – толщина плоской стенки, м; F - площадь плоской стенки, м2; l – высота цилиндрической стенки, м; r2, r1 – радиусы кривизны наружной и внутренней поверхностей цилиндрической стенки.
Охлаждение анодов мощных рентгеновских трубок, работающих в режиме длительных нагрузок, осуществляется проточной жидкостью – водой или маслом.
Количество тепла, передаваемое от охлаждаемой поверхности анода к жидкости в единицу времени, определяется выражением:
(4.9)
где Q1 – тепло, отдаваемое торцевой частью охлаждаемой поверхности, ккал/ч; Q2 – тепло, отдаваемое цилиндрической частью охлаждаемой поверхности, ккал/ч.
(4.10)
где α1 – коэффициент теплоотдачи торцевой поверхности, ккал/м2×ч×град; F1 - площадь торцевой поверхности, м2; tст – температура охлаждаемой стенки, °С; tж – средняя температура охлаждающей жидкости, °С.
, (4.11)
где l2 – коэффициент теплопроводности материала анода (для меди l2 = 330, ккал/м×ч×град); F2 – площадь поперечного сечения металлической трубчатой части анода, м2; , α2 – коэффициент теплоотдачи цилиндрической поверхности анода, ккал/м2×ч×град; - внутренний периметр сечения канала анода, м.
Коэффициенты теплоотдачи α1 и α2 могут быть рассчитаны по формулам:
, (4.12)
, (4.13)
где безразмерная величина – критерий Рейнольдса, характеризующая режим движения жидкости в подводящей трубке; критерий Рейнольдса, характеризующий режим движения в цилиндрическом зазоре охлаждающей системы; ω1, ω2 – скорости движения жидкости в подводящей трубке и цилиндрическом зазоре, м/сек; d2 – диаметр сечения отверстия подводящей трубки, м; - эквивалентный диаметр цилиндрического зазора, по которому движется охлаждающая жидкость, м; S2 – сечение этого зазора, м2; L – его периметр, м; - критерий Прандля, характеризующий физические свойства охлаждающей жидкости; ν – кинематическая вязкость жидкости, м2/сек; a – коэффициент температуропроводности жидкости, м2/сек; l - коэффициент теплопроводности жидкости, ккал/м×ч×град.
Скорости воды ω1 и ω2 могут быть найдены из выражений:
, (4.14)
, (4.15)
где V – расход жидкости, л/мин; S1 – сечение отверстия в подводящей трубке, м2; S2 – сечение зазора, м2.
При расчете теплоотдачи радиаторов рентгеновских трубок, работающих в защитном кожухе в масле, можно воспользоваться формулой:
, [Вт] (4.16)
где t – температура радиатора, °С; t0 – температура масла, °С; S - поверхность теплообмена, м2; ς = 1 – при вертикальном положении радиатора; ς = 0.8 – при горизонтальном положении радиатора.
Как уже указывалось, некоторых типах рентгеновских трубок для терапии, спектрального и структурного анализов применяют двухслойные прострельные аноды. Такой анод представляет собой сочетание тонкого слоя – мишени, в которой происходит торможение электронов и возбуждение излучения, и легкоатомной бериллиевой подложки.
Так как мощность рентгеновских трубок ограничена нагревом их анода, то для определения ее номинальной мощности P н необходимо исследовать температурное поле анода. При расчете температурного поля прострельного анода его можно рассматривать как круглый однородный диск (рис. 4.6) и не учитывать наличие тонкослойной мишени.
Это допущение обусловлено тем, что наличие мишени очень малой толщины не может существенно изменить характер температурного поля в аноде. Причем приближенно можно считать, что температура мишени по координате z из-за малой толщины мишени не меняется, и при любом r она равна основанию z = 0, на которое мишень нанесена.
Рис. 4.6. Модель для расчета прострельного анода.
Поскольку глубина проникновения бомбардирующих электронов в мишени невелика, создаваемый им источник тепла на поверхности z = 0 можно считать поверхностным.
Трубки с прострельным анодом обычно работают в режиме длительного непрерывного включения, поэтому температурное поле в их анодах является стационарным, и, следовательно, с учетом сделанного выше замечания, оно описывается уравнением Лапласа
, (4.17)
где T (r, z) – температура в точке анода с координатами (r, z). Исходя из реальных условий работы анода в рентгеновской трубке, можно следующим образом охарактеризовать условия на ограничивающих его поверхностях:
1) на поверхности z = 0 удельная тепловая нагрузка распределена по закону Гаусса;
2) температура боковой поверхности r = R может быть принята постоянной, поскольку на этой поверхности диск анода соединен с массивным корпусом трубки;
3) теплоотводом через основание анода z = h можно пренебречь, так как это основание находится в воздухе в условиях естественной конвекции, а коэффициент теплоотдачи для этого процесса относительно мал.
При этих условиях решение уравнения Лапласа для рассматриваемого анода имеет вид
; (4.18)
; (4.19)
. (4.20)
В этих соотношениях: T 0 –температура боковой поверхности анода; Р – мощность электронного пучка; l - коэффициент теплопроводности материала мишени; r 0 – условный радиус фокусного пятна рентгеновской трубки; J 0 и J 1 – функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков, определяемые из уравнения J 0 (b) = 0.
С помощью приведенных формул можно рассчитать температуру любой точки анода. Однако обычно интересуются только температурой фокусного пятна Т (0, 0) – наиболее нагретой точки анода. Мощность электронного пучка, при которой величина Т (0, 0) достигает предельного для типа мишени значения Т пр и является номинальной мощностью трубки. Значение Т пр зависит от материала мишени, метода ее нанесения и некоторых других факторов.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 958 | Нарушение авторских прав
|