Пример выполнения курсового задания С 3
В качестве примера, иллюстрирующего порядок расчёта составной конструкции, рассматривается равновесие механической системы, состоящей из двух тел, соединенных между собой внутренним шарниром в точке D (рис. 1.62).
Дано: Р1 = 2 кН; Р2 = 4 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м.
Определить реакции внешних связей в точках А, В, С.
Решение.
Распределённая нагрузка интенсивностью q заменяется сосредоточенной силой Q, модуль которой равен:
Q = q·L = 2·4 = 8 кН.
К механической системе, состоящей из тел 1 и 2, приложены активные силы P 1, P 2, Q и активная пара сил с алгебраическим моментом М, а также реакции X A, Y A, R B, R c внешних связей. Так как система сил, действующих на совокупность тел 1 и 2 плоская произвольная, то составляются три уравнения равновесия.
Σ + Σ = 0 =
= P1·cos(60о) + P2·sin(45о) + XA – RB·sin(45о) – Rc·sin(45о) = 0; (1)
Σ + Σ = 0 =
= – Q – P1·sin(60о) – P2·cos(45о) + YA +
+ RB·cos(45о) + Rc·cos(45о) = 0; (2)
Σ MD(F iE) + Σ MD(R iE) = 0 =
= Q·6 + P1·sin(60о)·2 + P2·3 – М – YA·8 – RB·6 + RC·6 = 0. (3)
Так как имеются три уравнения равновесия, в которые входят четыре неизвестные реакции X A, Y A, R B, R C, то такая система уравнений не решается. Поэтому конструкцию расчленяют по внутренней связи в точке D и рассматривают равновесие каждого тела в отдельности.
На рис. 1.63 изображено тело 1, которое находится в покое под действием активных сил Q, P 1, реакций внешних связей X A, Y A и реакций внутренних связей X D, Y D.
Следует отметить, что для тела 1 силы Q, P 1, X A, Y A, X D, Y D являются внешними силами.
Система сил, действующая на тело 1, плоская произвольная, поэтому для неё составляется три уравнения равновесия.
Σ + Σ = 0 =
= 0 = P1·cos(60о) + XA + XD = 0; (4)
Σ + Σ = 0 =
= – Q – P1·sin(60о) + YA + YD = 0; (5)
Σ MD(F iE) + Σ MD(R iE) = 0 =
= Q·6 + P1·sin(60о)·2 – YA·8 = 0. (6)
На рис. 1.63 реакции X D, Y D внутренней связи показывают, как тело 2 действует на тело 1 в точке D.
Рассматривается равновесие тела 2, на которое действуют активная сила Р 2, активная пара сил с алгебраическим моментом М, реакции R B, R C внешних связей в точках В и С и реакции X DI, Y DI внутренней связи в точке D (рис. 1.64).
Реакции X DI, Y DI показывают, как тело 1 действует на тело 2 в точке D. По аксиоме равенства действия и противодействия эти реакции направлены противоположно одноименным реакциям, показанным на рис. 1.63.
X D = – X DI; Y D = – Y DI; XD = XDI; YD = YDI.
По отношению к телу 2 активные нагрузки Р, М и реакции R B, R C, X DI, Y DI являются внешними нагрузками.
Таким образом, на тело 2 действует плоская произвольная система сил, поэтому составляют три уравнения равновесия. С целью сокращения формы записи уравнений равновесия использована система отсчёта OXY, одна из осей которой направлена вдоль стержня ВС.
Σ + Σ = 0 =
= – XDI·cos(45о) – YDI·cos(45о) = 0; (7)
Σ + Σ = 0 =
= – P2 + RB + XDI·sin(45о) – YDI·sin(45о) + Rc = 0; (8)
Σ MD(F iE) + Σ MD(R iE) = 0 =
= P2·3 – M – RB·6 + RC·6 = 0. (9)
Таким образом, по рис. 1.62, 1.63, 1.64 составлено девять уравнений равновесия, в которые вошли шесть неизвестных реакций. С целью сокращения времени расчёта целесообразно использовать уравнения равновесия, составленные для тел 1 и 2 механической системы.
Из уравнения (6) определяется проекция реакции Y A на координатную ось OY:
YA = (Q·6 + P1·sin(60о)·2)/8 = (8·6 + 2·0,866·2)/8 = 6,433 кН.
Из уравнения (5) имеем
YD = – YA + Q + P1·sin(60о) = – 6,433 + 8 + 2·0,866 = 3,299 кН.
Из уравнения (7) определяется проекция реакции X D внутренней связи в точке D на координатную ось ОХ:
XD = XDI = – YD = – 3,299 кН.
Из уравнения (4) определяется проекция реакции X A на ось ОХ:
XA = – P1·cos(60о) – XD = – 2·0,5 – (–3,299) = 2,299 кН.
С учётом выражения (7) уравнения (8) и (9) несложно преобразовать в систему уравнений (8I), (9I):
RB – P2 + 2·XD·cos(45о) + RC = 0; (8I)
– RB + P2·(3/6) – (M/6) + RC = 0. (9I)
Складывая левые и правые части этих уравнений, получим уравнение
– 0,5·P2 – (M/6) + 2·XD·cos(45о) + 2·RC = 0. (10)
Из уравнения (10) находим модуль реакции RC:
RC = (0,5·P2 + (M/6) – 2·XD·cos(45о))/2 =
= (0,5·4 + (6/6) – 2·(– 2,299)·0,707)/2 = 3,832 кН.
Возвращаясь к уравнению (9I), находим модуль реакции RB:
RB = P2·(3/6) – (M/6) + RC = 4·(3/6) – (6/6) + 3,832 = 4, 832 кН.
Таким образом, при совместном решении уравнений (4) – (9) определяются реакции X A, Y A, R B, R C внешних связей в точках А, В, С и реакции X D, Y D, X DI, Y DI внутренней связи механической системы в точке D.
Для проверки полученных результатов расчётов используются уравнения (1), (2), (3):
Σ + Σ = 0 =
= P1·cos(60о) + P2·sin(45о) + XA – RB·sin(45о) – Rc·sin(45о) = 0 =
= 2·0,5 + 4·0,707 + 2,299 – 4,832·0,707 – 3,832·0,707 = 0; (1)
Σ + Σ = 0 =
= – Q – P1·sin(60о) – P2·cos(45о) + YA +
+ RB·cos(45о) + Rc·cos(45о) = 0 =
= – 8 – 2·0,866 – 4·0,707 + 6,433 +
+ 4,832·0,707 + 3,832·0,707 = 0; (2)
Σ MD(F iE) + Σ MD(R iE) = 0 =
= Q·6 + P1·sin(60о)·2 + P2·3 – М – YA·8 – RB·6 + RC·6 = 0 =
= 8·6 + 2·0,866·2 + 4·3 – 6 – 6,433·8 – 4,832·6 + 3,832·6 = 0. (3)
Проверка показала, что расчёты проведены правильно.
Результаты проведенных расчётов помещают в таблицу.
Таблица
Проекции реакций внешних связей
на координатные оси
| Проекции реакции внутренней связи на координатные оси
| XA, кН
| YA, кН
| RB, кН
| RC, кН
| XD, кН
| YD, кН
| 2,299
| 6,433
| 4,832
| 3,832
| –3,299
| 3,299
|
Таким образом, если необходимо определить реакции внешних связей для составной конструкции, то следует расчленить конструкцию по внутренней связи и рассмотреть равновесие каждого тела.
Для решения некоторых задач на составную конструкцию может быть использована теорема о равновесии трёх непараллельных сил.
Теорема. Линии действия трёх непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.
На рис. 1.65 изображена составная конструкция из двух тел, соединённых между собой внутренним шарниром в точке D.
Дано. На тело 1 действует активная сила F. Тело 2 загружено только по его концам В и D. Исходя из этого, тело 2 можно считать невесомым стержнем.
Определить реакции внешних связей.
Решение. На механическую систему, состоящую из двух тел, действуют три взаимно уравновешивающиеся внешние силы: активная сила F и реакции R A, R B в шарнирно-неподвижных опорах А и В. Так как тело 2 является невесомым стержнем, то линия действия реакции R B проходит по стержню 2. Линии действия силы F и реакции R B пересекаются в точке C. Так как три силы F, R A и R B не параллельны и лежат в одной плоскости, то линия действия реакции R A тоже должна проходить через точку C.
Система сил (F, R A, R B) уравновешенная, поэтому силовой треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнут (см. рис. 1.65). Для определения величин реакций используется теорема синусов:
F/sin(α+β) = RB/sin(α) = RA/sin(β).
Величина угла α находится из рис. 1.65 по формулам:
tg(α)= 2/6 = 0,333; α = arctg(0,333) = 18,434o.
Величина угла β = 45o. Это так же видно из рис. 1.65. Окончательно находим:
RA = = = 31,633 кН;
RВ = = = 14,138 кН.
Действительное направление реакций R A и R B показано на силовом треугольнике.
Эту задачу можно решить и по изложенному ранее алгоритму. Однако такое решение требует больших расчётных работ.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулировать определение понятия «статически определимые задачи».
2. Сформулировать определение понятия «статически неопределимые задачи».
3. Записать алгоритм решения задач статики для составных конструкций.
4. Сформулировать теорему о трёх непараллельных взаимно уравновешивающихся сил.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 654 | Нарушение авторских прав
|