АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Ускорение точки

Прочитайте:
  1. Болевые точки надкостницы (БТН)
  2. Вектор момента силы относительно точки
  3. Векторный способ задания движения точки
  4. Взгляд с практической точки зрения
  5. Движения точки
  6. Динамика материальной точки
  7. Другие названия: бородавник, чистуха, ласточкина трава, желтомолочник, глечкопар, чистоплот, подынник
  8. Жизненно важные точки и энергетические каналы в организме
  9. И абсолютного ускорения точки»
  10. Из этой формулы можно выразить ускорение свободного падения

 

 

Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения величины и направления скорости.

 

Ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения.

Рассматривается движение точки на плоскости в системе отсчёта OXY (рис. 2.9) по заданным уравнениям движения X = f1(t); Y = f2(t).

Согласно рис. 2.9 запишем векторное равенство

а = а ОХ +a OY = i · + j · ,

где а – ускорение точки; а ОХ, a OYкомпоненты ускорения по координатным осям; , – проекции ускорения на координатные оси.

Здесь две точки (··) означает символ двойного дифференцирования функции по времени.

 

Распространяя полученный результат на пространство (система отсчёта OXYZ), получим

а = а ОХ + a OY + a OZ= i · + j · + j · .

Как правило, проекции ускорения а на координатные оси в технической литературе обозначаются так: , , .

Проекции ускорения точки на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих уравнений движения или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

= d2X/dt2 = ;

= d2Y/dt2 = ;

= d2Z/dt2 = .

Модуль ускорения находится по следующим формулам:

a = (точка движется в пространстве);

a = (точка движется в плоскости);

a = | |(точка движется по прямой линии).

Направляющие косинусы находятся по следующим формулам:

cos(a, i) = / a; cos(a, j) = / a; cos(a, k) = / a.

Зная направляющие косинусы, вектор ускорения а ориентируют в пространстве.

Рассматривается движение точки по прямой линии согласно заданному уравнению движения X = f(t) (рис. 2.10).

 
 

При таком движении справедливо равенство а = а ОХ = i · . На рис. 2.10 дополнительно показано ускорение а 0–начальное ускорение точки при t0 = 0.

 

Примечания:

1. Если проекции ускорения на координатные оси положительны ( > 0, > 0, > 0), то компоненты ускорения по координатным осям (а ОХ, a OY, a OZ) направлены в те же стороны, что и единичные векторы (I, j, k) системы отсчёта OXYZ.

2. Если проекции ускорения на координатные оси отрицательны ( < 0, < 0, < 0), то компоненты ускорения по координатным осям (а ОХ, a OY, a OZ ) направлены в стороны, противоположные ортам (I, j, k) системы отсчёта OXYZ.

 

Рассмотрим более подробно движение точки на координатной оси ОХ (рис. 2.10) по заданному уравнению движения X = f(t).

Если проекция скорости V и проекция ускорения а точки совпадают по знаку, то точка движется ускоренно. При > 0 и >0 точка движется в сторону увеличения координаты Х ускоренно. Если < 0 и < 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х ускоренно. Если > 0 и < 0, то точка движется в сторону увеличения координаты замедленно. Если < 0 и > 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х замедленно.

Если проекция ускорения на ось ОХ постоянна ( = const), то такое движение называют равнопеременным. При условии, что = const ≠ 0, уравнение равнопеременного движения точки записывают в виде

X = X0 + 0·t + ( ·t2)/2,

где X0 – значение координаты точки в начальный момент времени; 0 - проекция начальной скорости V 0 на координатную ось ОХ в начальный момент времени.

Если = const > 0, то такое движение называют равноускоренным.

Если = const < 0, то движение точки называют равнозамедленным.

Если = 0, то такое движение называют равномерным. Уравнение равномерного движения имеет вид X = X0 + ·t.

При условии, что = f(t) ≠ const, для получения уравнения движения выражение = f(t) необходимо дважды проинтегрировать.

Пусть, например, = 2·t. Представим это выражение в виде d /dt = 2·t. Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении d = 2·t·dt. Первый интеграл от этого выражения имеет вид = 2·(t2/2) + C1 = t2 + C1, где С1 – постоянная интегрирования, которую находят по начальным условиям движения. Пусть при t0 = 0 проекция начальной скорости V 0 на ось ОХ не равна нулю: 0 ≠ 0. Тогда при t0 имеем 0 = (t0)2 + C1. Откуда С1 = 0. Внося значение постоянной С1 в выражение, полученное при первом интегрировании, имеем = t2 + 0. Так как = dX/dt, то после разделения переменных имеем следующее дифференциальное уравнение движения dX = t2·dt + 0·dt. Интегрируя это уравнение, получим X = t3/3 + 0·t + C2, где С2 – постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям движения. Пусть при t0 = 0 координата Х0 ≠ 0. Тогда X0 = (t0)3/3 + 0·t0 + C2 или С2 = Х0. Окончательно имеем уравнение прямолинейного движения

X = (t)3/3 + 0·t + Xo.

Таким образом, если заданы уравнения движения точки в координатной форме, то можно в любой момент времени определить следующие кинематические характеристики:

1) траекторию движения;

2) положение точки на траектории движения;

3) проекции скорости на координатные оси, а, следовательно, и модуль скорости;

4) ориентацию вектора скорости в системе отсчёта по её направляющим косинусам;

5) проекции ускорения на координатные оси и модуль ускорения;

6) положение вектора ускорения в системе отсчёта по его направляющим косинусам.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 591 | Нарушение авторских прав

При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.01 сек.)