Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

МЕХАНИКА

Прочитайте:

Средняя скорость

где ― перемещение материальной точки за интервал времени Δt.

Средняя путевая скорость

где ― путь, пройденный материальной точки за интервал времени Δt.

Мгновенная скорость

Ускорение

Полное ускорение

где тангенциальное ускорение

нормальное ускорение

― скорость тела;

r ― радиус кривизны траектории;

ω ― угловая скорость.

Уравнение равномерного движения вдоль оси х

где х ₀ ― начальная координата;

v ― скорость тела;

t ― время.

Кинематическое уравнение равнопеременного движения вдоль оси х

где v ₀ ― начальная скорость тела;

a ― ускорение тела;

t ― время.

Связь между ускорением и пройденным путем при равнопеременном движении

Вывод уравнения:

Кинематическое уравнение равнопеременного движения вдоль оси х

где v ₀ ― начальная скорость тела;

a ― ускорение тела;

t ― время.

Скорость точки при равнопеременном движении

или

С учетом этого выражения уравнение (1) можно записать в виде

Скорость точки при равнопеременном движении

где v ₀ ― начальная скорость тела;

a ― ускорение тела;

t ― время.

Средняя угловая скорость

где Δ φ ― изменение угла поворота за интервал время Δ t.

Мгновенная угловая скорость

Угловое ускорение

Кинематическое уравнение равномерного вращения

где φ ₀ ― начальное угловое перемещение;

ω ― угловая скорость,

t ― время.

Частота вращения

или

где N ― число оборотов, совершаемых телом за время t;

T ― период вращения.

Кинематическое уравнение равнопеременного вращения

где φ ₀ ― начальное угловое перемещение;

ω ― угловая скорость,

ε ― угловое ускорение,

t ― время.

Угловая скорость тела при равномерном вращении

где ω ₀ ― начальная угловая скорость,

ε ― угловое ускорение,

t ― время.

Линейная скорость точки

v = ωr,

где ω ― угловая скорость,

r ― радиус кривизны траектории.

Длина пути, пройденного точкой по дуге окружности радиусом r

s = φr,

φ ― угол поворота тела,

r ― радиус кривизны траектории.

Нормальное ускорение точки

a _n = ω ² r,

где ω ― угловая скорость,

r ― радиус кривизны траектории.

Тангенциальное ускорение точки

a _τ = εr,

ε ― угловое ускорение,

r ― радиус кривизны траектории.

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона)

или

где m — масса точки,

— скорость точки,

— сила, действующая на материальную точку.

Второй закон Ньютона

где ― геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку,

m ― масса,

a ― ускорение.

На основании II закона Ньютона запишем

или в проекции на оси координат

где ― сила трения,

f ― коэффициент трения,

g = 9,81 м/с² ― ускорение свободного падения.

Сила упругости

F _упр = − kx,

k ― коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

x ― абсолютная деформация.

Гравитационная сила

где G = 6,67∙10⁻¹¹ м³/(кг∙с²) ― гравитационная постоянная,

m ₁ и m ₂ ― массы взаимодействующих тел,

r ― расстояние между ними.

Работа гравитационных сил по притяжению одного тела другим вычисляется по формуле

где G — гравитационная постоянная,

M и m — массы тел,

r ₁ и r ₂ — начальное и конечное расстояния между центрами тяжести тел.

Координаты центра масс системы материальных точек

где m _i ― масса i -й материальной точки; x _i, y _i, z _i ― ее координаты.

Закон сохранения импульса

где m_i ― масса i -й материальной точки;

v _i ― ее скорость.

Для ядра и двух его осколков закон сохранения импульса имеет вид

или в проекции на оси координат

Работа, совершаемая постоянной силой,

где α ― угол между направлениями векторов силы и перемещения .

Работа, совершаемая постоянной силой,

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.

Средняя мощность за интервал времени Δ t

< N > = Δ A /Δ t,

где Δ A ― работа за время Δ t.

Мгновенная мощность

N = dA / dt, или

где dA ― работа за время dt.

Кинетическая энергия материальной точки

или

где m ― масса материальной точки,

v ― скорость материальной точки,

р ― импульс.

По теореме о кинетической энергии

т.е. изменение кинетической энергии ΔT равно работе A всех действующих сил.

Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением

или

где ― единичные векторы.

Если поле сил обладает сферической симметрией, то

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

k ― коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

x ― абсолютная деформация.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m₁ и m₂, находящихся на расстоянии r друг от друга,

где G = 6,67∙10⁻¹¹ м³/(кг∙с²) ― гравитационная постоянная,

m ₁ и m ₂ ― массы взаимодействующих тел,

r ― расстояние между ними.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

где М ― момент силы, действующей на тело,

ω ― угловая скорость,

Jω ― момент импульса.

Если J = const:

Уравнение вращательного движения

или

где М ― момент силы, действующей на тело,

J ― момент инерции,

ε ― угловое ускорение,

ω ― угловая скорость,

t ― время.

Момент инерции однородного тонкого стержня массой m и длиной l, ось вращения которого проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню

Момент инерции однородного тонкого стержня массой m и длиной l, ось вращения которого проходит через конец стержня перпендикулярно стержню

Момент инерции однородного диска массой m и радиусом R, ось вращения которого проходит через центр диска перпендикулярно диску

Момент инерции однородного шара массой m и радиусом R, ось вращения которого проходит через центр шара

Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен

где J ₀ ― момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси;

а ― расстояние между осями;

m ― масса тела.

Закон сохранения момента импульса

где L _i = J _i ω _i ― момент импульса тела с номером i, входящего в состав системы.

Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

А = Мφ,

где φ ― угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

N = Mω,

где М ― вращающий момент,

ω ― угловая скорость тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела

где J ― момент инерции тела,

ω ― угловая скорость тела.

Кинетическая энергия тела, катящегося без скольжения,

где m ― масса тела,

v ― скорость центра инерции тела,

J ― момент инерции тела,

ω ― угловая скорость тела.

Уравнение гармонических колебаний

Скорость точки изменяется по закону

Ускорение точки изменяется по закону

Амплитуда результирующего колебания

Начальная фаза результирующего колебания

Уравнение затухающих колебаний

где А₀ ― амплитуда колебаний в момент t = 0;

δ = r /(2 m) ― коэффициент затухания;

m — масса колеблющегося тела,

r — коэффициент сопротивления среды,

φ₀ ― начальная фаза.

ω ― круговая частота колебаний; ;

ω₀ — собственная круговая частота колебаний, стоящая в дифференциальном уравнении затухающих колебаний .

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

где А₀ ― амплитуда колебаний в момент t = 0;

δ ― коэффициент затухания.

Амплитуда вынужденных колебаний

где F₀ ― амплитудное значение внешней периодической силы, действующей на материальную точку;

ω ― круговая частота колебаний; ;

ω₀ — собственная круговая частота колебаний;

δ ― коэффициент затухания.

Резонансная частота и резонансная амплитуда

где F ₀ ― амплитудное значение внешней периодической силы, действующей на материальную точку;

m — масса материальной точки;

ω_рез ― круговая резонансная частота колебаний;

ω₀ — собственная круговая частота колебаний;

δ = r /(2 m) ― коэффициент затухания;

r — коэффициент сопротивления среды;

m — масса материальной точки.

Логарифмический декремент колебаний

где A(t) и A(t+T) ― амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период Т.

Добротность колебательного контура или колебательной системы

где ω₀ — собственная круговая частота колебаний;

δ ― коэффициент затухания;

N_e — число колебаний за время релаксации.

Формулы из книги Новикова С.М.

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

где A ₀ — амплитуда колебаний в начальный момент времени,

β ― коэффициент затухания.

Частота свободных колебаний системы

где ω₀ — собственная частота колебаний этой системы,

β — коэффициент затухания.

Логарифмический декремент затухания

где β ― коэффициент затухания [с^–1],

T = t / N = 2π/ω — период колебаний.

Добротность системы

где λ — логарифмический декремент затухания.

Коэффициент затухания

где m — масса колеблющегося тела,

r — коэффициент сопротивления среды [кг/с].

Энергия колеблющейся системы при малом затухании изменяется по закону

где E ₀ — начальная энергия,

β ― коэффициент затухания

t — время.

Акустический эффект Доплера

где ν ― частота звука, воспринимаемого движущимся прибором (или ухом);

с ― скорость звука в среде;

u _пр ― скорость прибора относительно среды;

u _ист ― скорость источника звука относительно среды;

ν ₀ ― частота звука, испускаемого источником.

Оптический эффект Доплера

где ω — частота света, воспринимаемая наблюдателем;

с ― скорость света;

v ― скорость источника света относительно наблюдателя;

ω ₀ ― собственная частота света, испускаемого источником;

θ — угол между направлением на источник и вектором скорости в системе отсчёта наблюдателя.

Уравнение колебаний волны

где ξ ― смещение колеблющейся точки на расстоянии l от источника колебаний в момент времени t;

T ― период колебаний; λ ― длина волны.

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник)

где m ― масса тела, k ― жесткость пружины.

Период колебаний математического маятника

где l ― длина маятника, g ― ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

где J ― момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний, a ― расстояние центра масс маятника от оси колебаний; L = J /(ma) ― приведенная длина физического маятника.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J ― момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k ― жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Релятивистское сокращение длины стержня по оси x, вдоль которой он движется.

где x — длина проекции стержня, измеренная в лабораторной системе координат; x ₀ — длина проекции стержня на ось x' в системе координат, которая движется вместе со стержнем со скоростью v; с — скорость распространения электромагнитного излучения.

Если система отсчета К' движется со скоростью v в положительном направлении оси x системы К, причем оси х' и х совпадают, а оси у' (z') и у (z)параллельны, то координаты и время какого-либо события в системах K' и К связаны между собой преобразованием Лоренца

где c — скорость света в вакууме.

Если система отсчета К' движется со скоростью v в положительном направлении оси x системы К, причем оси х' и х совпадают, а оси у' (z') и у (z)параллельны, то компоненты скорости v _x, v _y, v _z частицы в системе K связаны с компонентами ее скорости v' _x, v' _y, v' _z в системе K' соотношениями

Релятивистское сложение скоростей:

где u — скорость тела в системе координат K; u' — скорость тела в системе координат K'; v — скорость системы координат K' относительно системы координат K; с — скорость распространения электромагнитного излучения.

Кинетическая энергия релятивистской частицы