Задачи. 1. Доказать следующие утверждения:
1. Доказать следующие утверждения:
а) из АÍВ вытекает, что АÇВ = А и АÈВ = В;
б) из АÇВ = А вытекает, что АÍВ;
в) из АÈВ = В вытекает, что АÍВ.
2. Доказать:
а) АÈ(ВÇС) = (АÈВ)Ç(АÈС);
б) АÇ(ВÈС) = (АÇВ)È(АÇС).
3. Доказать включения:
а) (АÇС)È(ВÇD)Í(АÈВ)Ç(СÈD);
б) (В – С) – (В – А)ÍА – С;
в) А – СÍ(А – В)È(В – С).
4. Доказать: АDВ = (АÈВ) – (АÇВ).
5. Верны ли утверждения для любых множеств А, В, С: 1) если АÍВ и ВÎС, то АÎС; 2) если А ¹ В и В ¹ С, то А ¹ С?
6. При каких условиях на А и В выполняется равенство (А – В)ÈВ = А.
7. Пусть U={a, b, c, d, e, f} – универсум, A = {a, b, c}, B = {a, c, e, f}, C = {d, e, f}. Найти А – В, В – С, С – В, А – С, АCÈВ, ВÇАC, АÇС, СDА.
8. Пусть АÇВ = Æ. Что можно сказать про множества А – В и В – А.
9. Пусть АÇВС = Æ. Что можно сказать про множества АÇВ и АÈВ.
10. Доказать равенства:
а) (А – В) – С = (А – С) – (В – С);
б) (А – В)È(В – С)È(С – А)È(АÇВÇС) = АÈВÈС;
в) А – В = А – (АÇВ) = (АÈВ) – В;
г) А – (А – В) = АÇВ;
д) А – (ВÈС) = (А – В)Ç(А – С);
е) А – (ВÇС) = (А – В)È(А – С);
ж) (АÈВ) – С = (А – С)È(В – С).
11. Вытекает ли из А – В = С, что А = ВÈС?
12. Вытекает ли из А = ВÈС, что А – В = С?
13. Пусть А – заданное множество, про другое множество Х известно, что АDХ = А. Доказать, что Х = Æ.
14. Доказать равенства:
а) АD(ВDD) = (АDВ)DD;
б) АÇ(ВDD) = (АÇВ)D(АÇD);
в) АDА = Æ;
г) АDÆ = А.
15.Доказать следующие тождества:
а) (АÇВ)È(СÇD) = (АÈС)Ç(ВÈС)Ç(АÈD)Ç(ВÈD);
б) (АÈВ)ÇА = (АÇВ)ÈА = А;
в) А – (В – С) = (А – В)È(АÇС);
г) АÇ(В – С) = (АÇВ) – (АÇС) = (АÇВ) – С;
д) АÈВ = АÈ(В – А);
е) (АС)С = А;
ж) АÈАС = U;
з) АÇАС = Æ;
и) [АСÈВ]ÇА = АÇВ;
к) АÇ(В-А) = Æ;
л) А – (ВÈС) = (А – В) – С.
16.Доказать, что
а) (АÈВ)ÇС = АÈ(ВÇС) Û АÍС;
б) А = В Û АDВ = Æ;
в) АÇВ = АÈ В Û А = В;
г) (АÈВ) – В = А Û АÇВ = Æ;
д) (А – В)ÈВ = А Û ВÍА;
е) (АÇВ)ÈС = АÇ(ВÈС) Û СÍА;
ж) АÍВ Þ АÈСÍВÈС;
з) АÍВ Þ АÇСÍВÇС;
и) АÍВ Þ (С-В) Í(С-А);
к) АÍВ Þ ВСÍАС;
л) А = ВС Û АÇВ=Æ и АÈВ = U.
17.Доказать тождества:
а) АÈВ = АÈВÈ(АÇВ);
б) А – В = А – (АÇВ);
в) АÈÆ = А;
г) А – А = Æ;
д) ADU = AC;
е) АDВ = (АÈВ) – (АÇВ);
18. Пусть A Í U, B Í U. Доказать:
а) A – B = A Ç BC;
б) ADB = (A Ç BC) È (AC Ç B).
19. Решить систему уравнений
а)
где А, В, С – данные множества и В Í А Í С.
б)
где А, В, С – данные множества и В Í А, А Ç С = Æ.
в)
где А, В, С – данные множества и В Í А Í С.
20. Определить операции È, Ç, \ через:
а) Ç и D;
б) D и È;
а) \ и D.
21. Доказать, что для любых множеств E, F, G, H справедливы
включения:
а) ED(FÈG) Ì (EDF)È(EDG);
б) ED (F – G) Ê (FDE) – (GDE);
в) (EDF)Ç(GDH) Ì (EÇG)D(FÇH);
г) (EDF)-(GDH) Ì [ED(F-H)]È[(E-G)D(FÇH)];
д) ED(FÇG) É (EDF)Ç(EDG);
е) (FÇE)D(GÇH) Í (GDE)È(FDH).
22. Справедливо ли равенство
(АDВ)Ç(СDD) = (АÇС)D(ВÇD)?
23. Справедливо ли равенство
(АDВ)È(СDD) = (АÈС)D(ВÈD)?
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 855 | Нарушение авторских прав
|