Отношение порядка
Определение. Отношение r в множестве Х, удовлетворяющее условиям:
1) хrх для "хÎХ (рефлексивность);
2) из хrу и уrх следует, что х=у ( антисимметрия );
3) из хrу и уrz следует, что хrz (транзитивность).
называется частичным порядком на Х.
Пример. 1) Обычное отношение £ (или ³) на множестве всех чисел;
2) х является целым кратным у, где х и у из N;
3) отношение включения для множеств на множестве всех подмножеств.
Определение. Отношение r на Х, удовлетворяющее условиям:
1) хrх для "хÎХ;
2) из хrу и уrz следует хrz.
называется предпорядком.
Пример. На некотором множестве людей отношением предпорядка являются: а) рост одного человека больше или равен росту другого; б) вес одного человека больше или равен весу другого.
Если на множестве Х задано отношение предпорядка r, то полагая, что хsу, если хrу и уrх, получим отношение эквивалентности s на Х (проверить самостоятельно). Эквивалентность s разбивает Х на классы эквивалентности [x]. Обозначим через [X] - множество всех классов эквивалентности в Х. На [X] предпорядок r порождает отношение частичного порядка t по правилу [x]t[y], если $ х1Î[x] и у1Î[y]: x1rу1. Если х2Î[x], то х2sх1, т.е. х2rх1 и х1rу1, следовательно, х2rу1. Последнее означает, что [x]t[y] тогда и только тогда, когда для "хÎ[x] и "уÎ[y] выполняется хrу. Проверьте самостоятельно, что t является отношением частичного порядка на [X].
Определение. Отношение r в Х называется строгим порядком, если это отношение обладает свойствами
1) отношение хrх не верно ни для одного хÎХ ( иррефлексивность );
2) из хrу и уrz следует хrz.
Если на множестве Х задан частичный порядок r, то он порождает на Х отношение строгого порядка t по правилу: хtу тогда и только тогда, когда хrу и х¹у. Верно и обратное: отношение строгого порядка порождает отношение частичного порядка (каким образом?).
Таким образом, наличие одного из порядков, частичного или строгого, автоматически порождает на том же множестве наличие и другого порядка. Следовательно, можно говорить лишь о наличии порядка на множестве, имея ввиду, что тогда на этом множестве есть и частичный, и строгий порядки.
Множество Х, на котором введено отношение частичного порядка r, называется линейно упорядоченным (или цепью), если для "х,уÎХ выполнено одно из отношений: либо хrу, либо уrх.
Пусть Х - множество с частичным порядком r, а МÍХ. Тогда уÎХ называется левой гранью множества М, если уrх для "хÎМ. Если же zÎХ и хrz для "хÎМ, то z называют правой гранью множества М.
Определение. уÎХ называется точной левой гранью множества МÍХ, если
1) уrх для "хÎМ;
2) zrу для "zÎХ: zrх.
Определение. уÎХ называется точной правой гранью множества МÍХ, если:
1) хrу для "хÎМ;
2) уrz для "zÎХ: zrх.
Определение. уÎМ называется правым экстремальным (левым) элементом множества МÍХ, если: хrу (соответственно, уrх) для "хÎМ.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 508 | Нарушение авторских прав
|