Задачи. 1. Доказать, что существуют А, В и С такие, что
1. Доказать, что существуют А, В и С такие, что
а) А´В ¹ В´А;
б) А´(В´С) ¹ (А´В) ´С.
2. Доказать, что если А, В, С и D не пусты, то
а) АÍВ и СÍD Û А´СÍВ´D;
б) А=В и С=D Û A´C = B´D.
3. Доказать, что
а)(АÇВ)´(СÇD) = (А´С)Ç(В´D);
б)(А´В)È(C´D) Í(AÈC)´(BÈD);
в)(АÈВ)´С=(А´С)È(В´С);
г)А´(ВÈС)=(А´В)È(А´С);
д)(АÈВ)´(CÈD)=(A´C)È(B´C)È(A´D)È(B´D);
е)(А-В)´С=(А´С)-(В´С);
ж)А´(В-С)=(А´В)-(А´С);-
з)А´В=(A´D)Ç(C´B), где АÍС и BÍD.
4. Найти область определения и область значений для отношений:
а) R={(x,y): x, yÎN и x делит y};
б) R={(x,y): x, yÎN и y делит x};
в) R={(x,y): x, yÎR и x+y ³0};
г) R={(x,y): x,yÎR и 2x>3y}.
5. Пусть R, S, T - некоторые отношения. Проверить справедливость равенств:
а) Ro(SoT) = (RoS)oT;
б) (R-1)-1 = R;
в) (RoS)-1 = S-1oR-1.
6. Пусть на множестве А заданы отношения R1 и R2. Доказать:
а) если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны отношения R1ÈR2, R1ÇR2, R1-1, R1oR2;
б) если отношения R1 и R2 иррефлексивны (т.е. для " х Î А не выполняется х R х), то иррефлексивны R1È R2, R1ÇR2, R1-1, суперпозиция R1оR2 может быть иррефлексивной;
в) если отношения R1 и R2 симметричны, то симметричны отношения R1ÈR2, R1ÇR2, R1-1, R1oR2-1;
г) отношение R1oR2, где R1 и R2 симметричны, симметрично тогда и только тогда, когда R1oR2 = R2oR1;
д) если отношения R1 и R2 антисимметричны, то антисимметричны R1ÇR2, R1-1.
7. Пусть А - конечное множество, n - число его элементов. Доказать, что число подмножеств множества А, состоящих из m элементов, где 0£ m £n, равно
8. Пусть r - отношение, обладающее свойством рефлексивности и транзитивности в множестве А. Определим для а, bÎА отношение R, полагая аRb, если аrb и brа.
а) Доказать, что R есть отношение эквивалентности на А.
в) Доказать, что если аRа', bRb' и аrb, то а'rb'.
9. Во множестве Z+´Z+ положим по определению (а, b)r(с, d), если а+d=b+с. Доказать, что r является отношением эквивалентности на данном множестве.
| «Понятие функции такое же основное, как и понятие множества»
Хаусдорф
|
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 992 | Нарушение авторских прав
|