Задачи. 1. Установить, что следующие отношения являются функцией:
1. Установить, что следующие отношения являются функцией:
а) вÎУ, R = X´{в}ÍX´У (постоянное отображение);
б) R = {(x, x): xÎX}ÍX´X (тождественное отображение IX);
в) R = {((x, y), x)}Í(X´Y)´X (проекция на Х);
г) R = {((x, y), у)}Í(X´Y)´Y (проекция на Y).
2. Пусть А - произвольное множество из области определения функции f(х). Верно ли равенство f -1 [f(A)] = A всегда?
3. Пусть В - произвольное множество из области значений функции f(х). Верно ли равенство: f[f -1 (B)] = B всегда?
4. Верны ли равенства:
f(AÈB) = f(A)Èf(B);
f(AÇB) = f(A)Çf(B)?
5. Верно ли, что f(R – А) = f(R) – f(А), где R - область определения функции?
6. Пусть А и В - два множества из области значений функции у = f(х). Верны ли равенства:
f -1 (AÇB) = f -1 (A)Çf -1 (B),
f -1 (AÈB) = f -1 (A)Èf -1 (B)?
7. Пусть L - область значений функции у = f(х), а АÍL. Справедливо ли равенство: f -1 (L – A) = f -1 (L) – f-1 (А)?
8. Задана функция f: х ® х2 + рх + q и интервал (a, b). Определить множество f -1 ((a, b)).
9. Задана функция f из А в В. Доказать, что для всякого МÍВ справедливо включение f[f -1 (M)] Í M. Пусть Е ÍА. Доказать, что f-1 [f(E)] ÊE.
10. Задана функция f из А в В. Пусть Е1 ÍА, Е2 ÍА, М1 ÍВ, М2 ÍВ. Доказать, что если Е1 ÍЕ2, то f(Е1)Íf(Е2), если М1 ÍМ2, то f -1 (М1) Í f -1(М2).
11. Задана функция f из А в В. Доказать, что следующие условия попарно эквивалентны:
а) f - инъекция;
б) f -1 (f(Е)) = Е для любого ЕÍА;
в) f(ЕÇМ) = f(Е)Çf(М) для любых Е, МÍА;
г) f(Е)Çf(М) = Æ для любой пары множеств ЕÍА, МÍА такой, что ЕÇМ= Æ;
д) F(Е – М) = f(Е) – f(М) для любой пары множеств ЕÍА, МÍА такой, что МÍЕ.
12. Пусть даны множества А, В, С, D и функции
f: А ® В, g: В ® С, h: С ® D.
Доказать, что если каждая из суперпозиций gof и hog есть биекция, то и все функции f, g и h являются биекциями.
13. Пусть А - конечное множество и f функция из А в А. Доказать, что
а) если f является сюръекцией, то f также и инъекция;
в) если f является инъекцией, то f также и сюръекция.
14. Построить отношения, удовлетворяющие следующим требованиям:
а) рефлексивное, симметричное, не транзитивное;
б) рефлексивное, транзитивное, не симметричное;
в) симметричное, транзитивное, не рефлексивное.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 588 | Нарушение авторских прав
|