АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Задачи. 1. Установить, что следующие отношения являются функцией:

1. Установить, что следующие отношения являются функцией:

а) вÎУ, R = X´{в}ÍX´У (постоянное отображение);

б) R = {(x, x): xÎX}ÍX´X (тождественное отображение I_X);

в) R = {((x, y), x)}Í(X´Y)´X (проекция на Х);

г) R = {((x, y), у)}Í(X´Y)´Y (проекция на Y).

2. Пусть А - произвольное множество из области определения функции f(х). Верно ли равенство f ^-1 [f(A)] = A всегда?

3. Пусть В - произвольное множество из области значений функции f(х). Верно ли равенство: f[f ^-1 (B)] = B всегда?

4. Верны ли равенства:

f(AÈB) = f(A)Èf(B);

f(AÇB) = f(A)Çf(B)?

5. Верно ли, что f(R – А) = f(R) – f(А), где R - область определения функции?

6. Пусть А и В - два множества из области значений функции у = f(х). Верны ли равенства:

f ^-1 (AÇB) = f ^-1 (A)Çf ^-1 (B),

f ^-1 (AÈB) = f ^-1 (A)Èf ^-1 (B)?

7. Пусть L - область значений функции у = f(х), а АÍL. Справедливо ли равенство: f ^-1 (L – A) = f ^-1 (L) – f^-1 (А)?

8. Задана функция f: х ® х² + рх + q и интервал (a, b). Определить множество f ^-1 ((a, b)).

9. Задана функция f из А в В. Доказать, что для всякого МÍВ справедливо включение f[f ^-1 (M)] Í M. Пусть Е ÍА. Доказать, что f^-1 [f(E)] ÊE.

10. Задана функция f из А в В. Пусть Е₁ ÍА, Е₂ ÍА, М₁ ÍВ, М₂ ÍВ. Доказать, что если Е₁ ÍЕ₂, то f(Е₁)Íf(Е₂), если М₁ ÍМ₂, то f ^-1 (М₁) Í f ^-1(М₂).

11. Задана функция f из А в В. Доказать, что следующие условия попарно эквивалентны:

а) f - инъекция;

б) f ^-1 (f(Е)) = Е для любого ЕÍА;

в) f(ЕÇМ) = f(Е)Çf(М) для любых Е, МÍА;

г) f(Е)Çf(М) = Æ для любой пары множеств ЕÍА, МÍА такой, что ЕÇМ= Æ;

д) F(Е – М) = f(Е) – f(М) для любой пары множеств ЕÍА, МÍА такой, что МÍЕ.

12. Пусть даны множества А, В, С, D и функции

f: А ® В, g: В ® С, h: С ® D.

Доказать, что если каждая из суперпозиций gof и hog есть биекция, то и все функции f, g и h являются биекциями.

13. Пусть А - конечное множество и f функция из А в А. Доказать, что

а) если f является сюръекцией, то f также и инъекция;

в) если f является инъекцией, то f также и сюръекция.

14. Построить отношения, удовлетворяющие следующим требованиям:

а) рефлексивное, симметричное, не транзитивное;

б) рефлексивное, транзитивное, не симметричное;

в) симметричное, транзитивное, не рефлексивное.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 593 | Нарушение авторских прав