Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Сходящиеся последовательности, их свойства

Прочитайте:

Определение 1. Последовательность называется сходящейся к числу а, если последовательность является бесконечно малой. При этом число а называют пределом последовательности и пишут или при .

Из определения 1 следует, что любая бесконечно малая последовательность сходится к нулю, так как = , то есть . В частности, и, в силу свойств бесконечно малых последовательностей, для любых и .

Определение 2. Последовательность называется сходящейся к числу а, если для любого найдется номер N, такой, что для всех значений .

Из определения 2 получаем, что предел любой постоянной величины А равен этой постоянной величине, то есть , так как для любого для всех значений .

Определение 3. Последовательность называется сходящейся к числу а, если в любой -окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Определение 4. Число а называется пределом последовательности , если для любого найдется номер N, такой, что для всех значений .

Нетрудно заметить, что определения 1-4 равносильны.

Замечание. Из определения 1 следует, что если последовательность сходится к а, то , где – бесконечно малая последовательность, отсюда . Верно и обратное, т.е. если последовательность можно представить в виде суммы постоянной а и бесконечно малой последовательности, то последовательность сходится к числу а. Действительно, по определению 1.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела: с и d. Тогда и , где и – бесконечно малые последовательности (см. замечание выше). Отсюда . Поскольку – бесконечно малая последовательность, по теореме 5 § 4 . Теорема доказана.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. По определению 1 последовательность бесконечно малая, по теореме 4 § 4 она ограничена, то есть существует число M > 0, такое, что одновременно ограничена и снизу и сверху, поэтому ограничена. Теорема доказана.

Теорема 3. Сумма (разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем

Доказательство. Пусть . Тогда (см. замечание в начале параграфаи свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.

Теорема 4. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем

Доказательство. Имеем , , так как – бесконечно малая последовательность (см. замечание и свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть .

Это очевидно, так как .

Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательностей и , таких, что , определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, причем

Для доказательства теоремы 5 нам потребуется вспомогательное утверждение.

Лемма. Если последовательность сходится к числу , то последовательность ограничена , где N – некоторое натуральное число.

Доказательство. Положим . По определению предела для него найдется номер N, такой, что для всех выполняется неравенство , т.е. . Поскольку , то для всех , т.е. и существует при , а также для всех . Лемма доказана.

Доказательство теоремы 5. Пусть . Тогда , . Рассмотрим = = . В последнем выражении первый множитель – бесконечно малая последовательность, второй и третий – ограниченная для всех последовательность. Поэтому – бесконечно малая последовательность, а так как , то . Теорема доказана.

Рассмотрим теперь свойства сходящихся последовательностей, связанных знаком неравенства.

Теорема 6. Пусть и – две сходящиеся последовательности, имеющие одинаковый предел а. Если, хотя бы начиная с некоторого номера, выполнено неравенство

, (5.1)

то последовательность – сходящаяся, причем .

Доказательство. Пусть , неравенство выполняется, начиная с номера . Возьмем произвольно. Для него существуют и ,такие, что

, (5.2)

. (5.3)

Положим . Тогда одновременно выполнены все неравенства (5.1) – (5.3), значит,

то есть , следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 6 часто называется «теоремой о сжатой переменной», или «теоремой о промежуточной переменной», или «теоремой о двух милиционерах». Мы ею часто будем пользоваться в дальнейшем.

Теорема 7. Если все члены двух сходящихся последовательностей и , по крайней мере, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству, то есть .

Доказательство. Пусть , . Надо доказать, что . Предположим противное, т.е. что , и возьмем . Тогда и . По определению предела последовательности для этого найдутся и такие, что

, откуда для всех ,

, откуда для всех .

Обозначим . Тогда для всех эти неравенства выполняются одновременно и, следовательно, , т.е. , что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы. Теорема доказана.

Следствие. Если, начиная с некоторого номера, то и ().

Это очевидно, так как вместо одной из последовательностей можно рассмотреть постоянную последовательность .

Заметим, что если , то (). Например, для всех n, однако .

Теорема 8. Если (), то, начиная с некоторого номера, .

Действительно, если (), то, взяв окрестность точки а, не содержащую точку А, по определению 3 получим, что, начиная с некоторого номера, все члены последовательности попадут в эту окрестность, т.е. будут больше А (будут меньше А).

§ 6. Монотонные последовательности. Число е

Определение 1. Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если для всех выполняется неравенство .

Определение 2. Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для всех выполняется неравенство .

Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют также строго монотонными последовательностями.

Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.

Пример 1. Последовательность возрастает, не убывает, убывает, не возрастает, – немонотонная последовательность.

Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая

Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство. Пусть последовательность не убывает и ограничена сверху, т.е. и множество ограничено сверху. По теореме 1 § 2 существует . Докажем, что .

Возьмем произвольно. Поскольку а – точная верхняя граница, существует номер N такой, что . Так как последовательность неубывающая, то для всех имеем , т.е. , поэтому для всех , а это и означает, что .

Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно). Теорема доказана.

Замечание. Теорему 1 можно сформулировать иначе.

Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.

Условие монотонности не является необходимым для сходимости последовательности, так как сходящаяся последовательность не обязательно монотонна. Например, последовательность не монотонная, однако сходится к нулю.

Следствие. Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то ().

Действительно, по теореме 1 ().

Определение 4. Если и при , то последовательность называется стягивающейся системой вложенных отрезков.

Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точка с, принадлежащая всем отрезкам этой системы.

Доказательство. Докажем, что точка с существует. Поскольку , то и, следовательно, последовательность не убывает, а последовательность не возрастает. При этом и ограничены, так как . Тогда по теореме 1 существуют и , но так как , то = . Найденная точка с принадлежит всем отрезкам системы, так как по следствию теоремы 1 , , т.е. для всех значений n.

Покажем теперь, что точка с – единственная. Предположим, что таких точек две: с и d и пусть для определенности . Тогда отрезок принадлежит всем отрезкам , т.е. для всех n, что невозможно, так как и, значит, начиная с некоторого номера, . Теорема доказана.

Отметим, что здесь существенно то, что рассматриваются замкнутые промежутки, т.е. отрезки. Если рассмотреть систему стягивающихся интервалов, то принцип, вообще говоря, неверен. Например, интервалы , очевидно, стягиваются в точку , однако точка не принадлежит ни одному интервалу этой системы.

Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.

1) Число е.

Рассмотрим теперь последовательность . Как она себя ведет? Основание

степени , поэтому ? С другой стороны, , а , поэтому ? Или предел не существует?

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим вспомогательную последовательность . Докажем, что она убывает и ограничена снизу. При этом нам будет нужна

Лемма. Если , то для всех натуральных значений n имеем

(неравенство Бернулли).

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции.

Если , то , т.е. неравенство верно.

Предположим, что оно верно для и докажем его справедливость для +1.

Верно . Умножим это неравенство на :

.

Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значений n. Лемма доказана.

Покажем, что последовательность убывает. Имеем

‌‌‌׀неравенство Бернулли׀ ,а это и означает, что последовательность убывает.

Ограниченность снизу следует из неравенства ‌‌‌׀неравенство Бернулли׀ для всех натуральных значений n.

По теореме 1 существует , который обозначают буквой е. Поэтому .

Число е иррационально и трансцендентно, е = 2,718281828…. Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.

Замечания. 1) Неравенство Бернулли можно использовать для доказательства того, что при . Действительно, если , то . Тогда, по неравенству Бернулли, при . Отсюда при имеем , то есть при .

2) В рассмотренном выше примере основание степени стремится к 1, а показатель степени n – к , то есть имеет место неопределенность вида . Неопределенность такого вида, как мы показали, раскрывается с помощью замечательного предела .

2) (*)

Докажем, что эта последовательность сходится. Для этого покажем, что она ограничена снизу и не возрастает. При этом воспользуемся неравенством для всех , которое является следствием неравенства .

Имеем |см. неравенство выше| , т.е. последовательность ограничена снизу числом .

Далее, |так как | , т.е. последовательность не возрастает.

По теореме 1 существует , который обозначим х. Переходя в равенстве (*) к пределу при , получим

, т.е. , откуда (берем знак «плюс», так как все члены последовательности положительны).

Последовательность (*) применяется при вычислении приближенно. За берут любое положительное число. Например, найдем . Пусть . Тогда , . Таким образом, .

3) .

Имеем . Поскольку при , существует номер N, такой, что для всех выполняется неравенство . Таким образом, последовательность , начиная с некоторого номера N, убывает и ограничена снизу, так как для всех значений n. Значит, по теореме 1 существует . Поскольку , имеем .

Итак, .

4) , справа – n корней.

Методом математической индукции покажем, что для всех значений n. Имеем . Пусть . Тогда , отсюда получаем утверждение по принципу математической индукции. Используя этот факт, находим , т.е. последовательность возрастает и ограничена сверху. Поэтому существует , так как .

Таким образом, .

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1896 | Нарушение авторских прав

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |